以下の5つの式を計算する問題です。 (1) $(2+\sqrt{5}-\sqrt{7})^2$ (2) $(3+\sqrt{2}+\sqrt{7})(3-\sqrt{2}-\sqrt{7})$ (3) $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}+\sqrt{3}} + \frac{5\sqrt{5}}{\sqrt{3}+\sqrt{8}}$ (4) $\frac{\sqrt{5}-1}{\sqrt{5}+3} - \frac{\sqrt{5}+3}{\sqrt{5}-1}$ (5) $\frac{1}{2-\sqrt{3}} - \frac{1}{\sqrt{3}-\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}-1}$

はい、承知いたしました。画像にある数学の問題を解いていきます。

1. 問題の内容

以下の5つの式を計算する問題です。

(1) $(2+\sqrt{5}-\sqrt{7})^2$

(2) $(3+\sqrt{2}+\sqrt{7})(3-\sqrt{2}-\sqrt{7})$

(3) $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}+\sqrt{3}} + \frac{5\sqrt{5}}{\sqrt{3}+\sqrt{8}}$

(4) $\frac{\sqrt{5}-1}{\sqrt{5}+3} - \frac{\sqrt{5}+3}{\sqrt{5}-1}$

(5) $\frac{1}{2-\sqrt{3}} - \frac{1}{\sqrt{3}-\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}-1}$

2. 解き方の手順

それぞれの式について、解き方の手順を説明します。

(1) $(2+\sqrt{5}-\sqrt{7})^2$

展開します。

$(2+\sqrt{5}-\sqrt{7})^2 = (2+\sqrt{5}-\sqrt{7})(2+\sqrt{5}-\sqrt{7})$

$= 4 + 2\sqrt{5} - 2\sqrt{7} + 2\sqrt{5} + 5 - \sqrt{35} - 2\sqrt{7} - \sqrt{35} + 7$

$= 16 + 4\sqrt{5} - 4\sqrt{7} - 2\sqrt{35}$

(2) $(3+\sqrt{2}+\sqrt{7})(3-\sqrt{2}-\sqrt{7})$

$(3+(\sqrt{2}+\sqrt{7}))(3-(\sqrt{2}+\sqrt{7}))$ の形なので、和と差の積の公式 $a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$ を利用します。

$= 3^2 - (\sqrt{2}+\sqrt{7})^2$

$= 9 - (2 + 2\sqrt{14} + 7)$

$= 9 - (9 + 2\sqrt{14})$

$= -2\sqrt{14}$

(3) $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}+\sqrt{3}} + \frac{5\sqrt{5}}{\sqrt{3}+\sqrt{8}}$

分母を有理化します。

$\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}+\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{5}(\sqrt{2}-\sqrt{3})}{(\sqrt{2}+\sqrt{3})(\sqrt{2}-\sqrt{3})} = \frac{\sqrt{10}-\sqrt{15}}{2-3} = -\sqrt{10}+\sqrt{15}$

$\frac{5\sqrt{5}}{\sqrt{3}+\sqrt{8}} = \frac{5\sqrt{5}(\sqrt{3}-\sqrt{8})}{(\sqrt{3}+\sqrt{8})(\sqrt{3}-\sqrt{8})} = \frac{5\sqrt{15}-5\sqrt{40}}{3-8} = \frac{5\sqrt{15}-10\sqrt{10}}{-5} = -\sqrt{15}+2\sqrt{10}$

よって、

$-\sqrt{10}+\sqrt{15} -\sqrt{15}+2\sqrt{10} = \sqrt{10}$

(4) $\frac{\sqrt{5}-1}{\sqrt{5}+3} - \frac{\sqrt{5}+3}{\sqrt{5}-1}$

分母を有理化します。

$\frac{\sqrt{5}-1}{\sqrt{5}+3} = \frac{(\sqrt{5}-1)(\sqrt{5}-3)}{(\sqrt{5}+3)(\sqrt{5}-3)} = \frac{5-3\sqrt{5}-\sqrt{5}+3}{5-9} = \frac{8-4\sqrt{5}}{-4} = -2+\sqrt{5}$

$\frac{\sqrt{5}+3}{\sqrt{5}-1} = \frac{(\sqrt{5}+3)(\sqrt{5}+1)}{(\sqrt{5}-1)(\sqrt{5}+1)} = \frac{5+\sqrt{5}+3\sqrt{5}+3}{5-1} = \frac{8+4\sqrt{5}}{4} = 2+\sqrt{5}$

よって、

$-2+\sqrt{5} - (2+\sqrt{5}) = -4$

(5) $\frac{1}{2-\sqrt{3}} - \frac{1}{\sqrt{3}-\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}-1}$

分母を有理化します。

$\frac{1}{2-\sqrt{3}} = \frac{2+\sqrt{3}}{(2-\sqrt{3})(2+\sqrt{3})} = \frac{2+\sqrt{3}}{4-3} = 2+\sqrt{3}$

$\frac{1}{\sqrt{3}-\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{(\sqrt{3}-\sqrt{2})(\sqrt{3}+\sqrt{2})} = \frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{3-2} = \sqrt{3}+\sqrt{2}$

$\frac{1}{\sqrt{2}-1} = \frac{\sqrt{2}+1}{(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}+1)} = \frac{\sqrt{2}+1}{2-1} = \sqrt{2}+1$

よって、

$2+\sqrt{3} - (\sqrt{3}+\sqrt{2}) + \sqrt{2}+1 = 2+\sqrt{3}-\sqrt{3}-\sqrt{2}+\sqrt{2}+1 = 3$

3. 最終的な答え

(1) $16 + 4\sqrt{5} - 4\sqrt{7} - 2\sqrt{35}$

(2) $-2\sqrt{14}$

(3) $\sqrt{10}$

(4) $-4$

(5) $3$