与えられた6つの式の分母を有理化する問題です。 (1) $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{6}}$ (2) $\frac{10}{7\sqrt{5}}$ (3) $\frac{1}{\sqrt{2}-1}$ (4) $\frac{\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}$ (5) $\frac{\sqrt{7}-\sqrt{3}}{\sqrt{7}+\sqrt{3}}$ (6) $\frac{\sqrt{2}+\sqrt{3}}{3\sqrt{2}-\sqrt{3}}$

1. 問題の内容

与えられた6つの式の分母を有理化する問題です。

(1) $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{6}}$

(2) $\frac{10}{7\sqrt{5}}$

(3) $\frac{1}{\sqrt{2}-1}$

(4) $\frac{\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}$

(5) $\frac{\sqrt{7}-\sqrt{3}}{\sqrt{7}+\sqrt{3}}$

(6) $\frac{\sqrt{2}+\sqrt{3}}{3\sqrt{2}-\sqrt{3}}$

2. 解き方の手順

(1) $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{6}}$ の分母を有理化するには、分母と分子に$\sqrt{6}$を掛けます。

$\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{6}} = \frac{\sqrt{7} \times \sqrt{6}}{\sqrt{6} \times \sqrt{6}} = \frac{\sqrt{42}}{6}$

(2) $\frac{10}{7\sqrt{5}}$ の分母を有理化するには、分母と分子に$\sqrt{5}$を掛けます。

$\frac{10}{7\sqrt{5}} = \frac{10 \times \sqrt{5}}{7\sqrt{5} \times \sqrt{5}} = \frac{10\sqrt{5}}{7 \times 5} = \frac{10\sqrt{5}}{35} = \frac{2\sqrt{5}}{7}$

(3) $\frac{1}{\sqrt{2}-1}$ の分母を有理化するには、分母の共役である$\sqrt{2}+1$を分母と分子に掛けます。

$\frac{1}{\sqrt{2}-1} = \frac{1 \times (\sqrt{2}+1)}{(\sqrt{2}-1) \times (\sqrt{2}+1)} = \frac{\sqrt{2}+1}{(\sqrt{2})^2 - 1^2} = \frac{\sqrt{2}+1}{2-1} = \frac{\sqrt{2}+1}{1} = \sqrt{2}+1$

(4) $\frac{\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}$ の分母を有理化するには、分母の共役である$2+\sqrt{3}$を分母と分子に掛けます。

$\frac{\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3} \times (2+\sqrt{3})}{(2-\sqrt{3}) \times (2+\sqrt{3})} = \frac{2\sqrt{3} + 3}{2^2 - (\sqrt{3})^2} = \frac{2\sqrt{3} + 3}{4-3} = \frac{2\sqrt{3} + 3}{1} = 2\sqrt{3} + 3$

(5) $\frac{\sqrt{7}-\sqrt{3}}{\sqrt{7}+\sqrt{3}}$ の分母を有理化するには、分母の共役である$\sqrt{7}-\sqrt{3}$を分母と分子に掛けます。

$\frac{\sqrt{7}-\sqrt{3}}{\sqrt{7}+\sqrt{3}} = \frac{(\sqrt{7}-\sqrt{3}) \times (\sqrt{7}-\sqrt{3})}{(\sqrt{7}+\sqrt{3}) \times (\sqrt{7}-\sqrt{3})} = \frac{(\sqrt{7}-\sqrt{3})^2}{(\sqrt{7})^2 - (\sqrt{3})^2} = \frac{7 - 2\sqrt{21} + 3}{7-3} = \frac{10 - 2\sqrt{21}}{4} = \frac{5 - \sqrt{21}}{2}$

(6) $\frac{\sqrt{2}+\sqrt{3}}{3\sqrt{2}-\sqrt{3}}$ の分母を有理化するには、分母の共役である$3\sqrt{2}+\sqrt{3}$を分母と分子に掛けます。

$\frac{\sqrt{2}+\sqrt{3}}{3\sqrt{2}-\sqrt{3}} = \frac{(\sqrt{2}+\sqrt{3}) \times (3\sqrt{2}+\sqrt{3})}{(3\sqrt{2}-\sqrt{3}) \times (3\sqrt{2}+\sqrt{3})} = \frac{3(\sqrt{2})^2 + \sqrt{6} + 3\sqrt{6} + (\sqrt{3})^2}{(3\sqrt{2})^2 - (\sqrt{3})^2} = \frac{3 \times 2 + 4\sqrt{6} + 3}{9 \times 2 - 3} = \frac{6 + 4\sqrt{6} + 3}{18 - 3} = \frac{9 + 4\sqrt{6}}{15}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{\sqrt{42}}{6}$

(2) $\frac{2\sqrt{5}}{7}$

(3) $\sqrt{2}+1$

(4) $2\sqrt{3} + 3$

(5) $\frac{5 - \sqrt{21}}{2}$

(6) $\frac{9 + 4\sqrt{6}}{15}$