与えられた2重根号を外す問題です。 (1) $\sqrt{8+\sqrt{48}}$ (2) $\sqrt{5-\sqrt{21}}$

1. 問題の内容

与えられた2重根号を外す問題です。

(1) $\sqrt{8+\sqrt{48}}$

(2) $\sqrt{5-\sqrt{21}}$

2. 解き方の手順

(1) $\sqrt{8+\sqrt{48}}$ について

まず、$\sqrt{48}$ を簡単にします。$\sqrt{48} = \sqrt{16 \times 3} = 4\sqrt{3}$ となります。

したがって、$\sqrt{8+\sqrt{48}} = \sqrt{8+4\sqrt{3}}$ です。

次に、2重根号を外す公式 $\sqrt{a \pm \sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a+\sqrt{a^2-b}}{2}} \pm \sqrt{\frac{a-\sqrt{a^2-b}}{2}}$ を使います。

$a=8, b=48$ なので、$a^2-b = 64 - 48 = 16$ となり、$\sqrt{a^2-b} = \sqrt{16} = 4$ です。

したがって、$\sqrt{8+4\sqrt{3}} = \sqrt{\frac{8+4}{2}} + \sqrt{\frac{8-4}{2}} = \sqrt{\frac{12}{2}} + \sqrt{\frac{4}{2}} = \sqrt{6} + \sqrt{2}$ となります。

または、$8 + 4\sqrt{3} = 6 + 2 + 2\sqrt{6 \times 2} = (\sqrt{6} + \sqrt{2})^2$より

$\sqrt{8 + \sqrt{48}} = \sqrt{8 + 4\sqrt{3}} = \sqrt{(\sqrt{6}+\sqrt{2})^2} = \sqrt{6} + \sqrt{2}$となります。

(2) $\sqrt{5-\sqrt{21}}$ について

2重根号を外す公式 $\sqrt{a \pm \sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a+\sqrt{a^2-b}}{2}} \pm \sqrt{\frac{a-\sqrt{a^2-b}}{2}}$ を使います。

$a=5, b=21$ なので、$a^2-b = 25 - 21 = 4$ となり、$\sqrt{a^2-b} = \sqrt{4} = 2$ です。

したがって、$\sqrt{5-\sqrt{21}} = \sqrt{\frac{5+2}{2}} - \sqrt{\frac{5-2}{2}} = \sqrt{\frac{7}{2}} - \sqrt{\frac{3}{2}} = \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{2}} - \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{14}-\sqrt{6}}{2}$ となります。

または、$5 - \sqrt{21} = \frac{10 - 2\sqrt{21}}{2} = \frac{7 + 3 - 2\sqrt{7 \times 3}}{2} = \frac{(\sqrt{7}-\sqrt{3})^2}{2}$より

$\sqrt{5 - \sqrt{21}} = \sqrt{\frac{(\sqrt{7}-\sqrt{3})^2}{2}} = \frac{\sqrt{7}-\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{14} - \sqrt{6}}{2}$となります。

3. 最終的な答え

(1) $\sqrt{6} + \sqrt{2}$

(2) $\frac{\sqrt{14} - \sqrt{6}}{2}$