数列 $\{a_n\}$ が、$a_1 = 5$ および漸化式 $a_{n+1} = (n+1)a_n + 2$ で定義されているとき、一般項 $a_n$ を求める問題です。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ が、$a_1 = 5$ および漸化式 $a_{n+1} = (n+1)a_n + 2$ で定義されているとき、一般項 $a_n$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$a_{n+1} = (n+1)a_n + 2$ を変形して、階差数列を考えられる形に近づけます。

両辺を $(n+1)!$ で割ります。

$\frac{a_{n+1}}{(n+1)!} = \frac{(n+1)a_n}{(n+1)!} + \frac{2}{(n+1)!}$

$\frac{a_{n+1}}{(n+1)!} = \frac{a_n}{n!} + \frac{2}{(n+1)!}$

ここで、$b_n = \frac{a_n}{n!}$ とおくと、漸化式は以下のようになります。

$b_{n+1} = b_n + \frac{2}{(n+1)!}$

これは階差数列の形なので、$b_n$ の一般項を求めます。

$b_n = b_1 + \sum_{k=1}^{n-1} \frac{2}{(k+1)!}$

$b_1 = \frac{a_1}{1!} = \frac{5}{1} = 5$

$b_n = 5 + 2 \sum_{k=1}^{n-1} \frac{1}{(k+1)!}$

$b_n = 5 + 2 \sum_{k=2}^{n} \frac{1}{k!}$

ここで、$e = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k!} = 1 + \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} + ...$ であることを利用します。

$\sum_{k=2}^{n} \frac{1}{k!} = \sum_{k=0}^{n} \frac{1}{k!} - 1 - 1 = \sum_{k=0}^{n} \frac{1}{k!} - 2$

$b_n = 5 + 2 \left( \sum_{k=0}^{n} \frac{1}{k!} - 2 \right)$

$b_n = 5 + 2 \sum_{k=0}^{n} \frac{1}{k!} - 4$

$b_n = 1 + 2 \sum_{k=0}^{n} \frac{1}{k!}$

したがって、$a_n = n! b_n = n! \left( 1 + 2\sum_{k=0}^{n} \frac{1}{k!} \right) = n! + 2n! \sum_{k=0}^{n} \frac{1}{k!}$

少し変形して, $\sum_{k=0}^{n} \frac{1}{k!} = \frac{1}{0!} + \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} + ... + \frac{1}{n!}$ なので,

$\sum_{k=0}^{n-1} \frac{1}{k!} = \frac{1}{0!} + \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} + ... + \frac{1}{(n-1)!}$ とすると

$b_n = 1 + 2 (\frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + ... + \frac{1}{n!}) + 4 = 3 + 2 \sum_{k=2}^{n} \frac{1}{k!}$

改めて$\frac{a_n}{n!} = b_n$ なので

$\frac{a_{n+1}}{(n+1)!} = \frac{a_n}{n!} + \frac{2}{(n+1)!}$

$\frac{a_{n+1}}{(n+1)!} - \frac{a_n}{n!} = \frac{2}{(n+1)!}$

両辺を$n = 1$から$n-1$まで足し合わせると

$\sum_{k=1}^{n-1} \left( \frac{a_{k+1}}{(k+1)!} - \frac{a_k}{k!} \right) = \sum_{k=1}^{n-1} \frac{2}{(k+1)!}$

$\frac{a_n}{n!} - \frac{a_1}{1!} = \sum_{k=1}^{n-1} \frac{2}{(k+1)!}$

$\frac{a_n}{n!} = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} \frac{2}{(k+1)!}$

$\frac{a_n}{n!} = 5 + 2 \sum_{k=1}^{n-1} \frac{1}{(k+1)!}$

3. 最終的な答え

$a_n = n! \left( 5 + 2 \sum_{k=1}^{n-1} \frac{1}{(k+1)!} \right)$

$a_n = 5n! + 2n! \sum_{k=2}^{n} \frac{1}{k!}$

$a_n = 5n! + 2n! (\sum_{k=0}^{n} \frac{1}{k!} - 2)$

$a_n = 5n! + 2n! \sum_{k=0}^{n} \frac{1}{k!} - 4n!$

$a_n = n! + 2n! \sum_{k=0}^{n} \frac{1}{k!}$

$a_n = n! \left( 1 + 2 \sum_{k=0}^{n} \frac{1}{k!} \right)$