(1) 内積空間$V$において、零ベクトルでないベクトル$u_1, u_2, ..., u_r$が互いに直交するならば、1次独立であることを示す。 (2) (1)の逆が成り立つかどうかを判断し、成り立つ場合は証明し、成り立たない場合は反例を挙げる。 (3) $\mathbb{R}^3$のベクトルで、$\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ -2 \end{pmatrix}$と$\begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}$のそれぞれと直交し、ノルムが1のものを求める。

1. 問題の内容

(1) 内積空間$V$において、零ベクトルでないベクトル$u_1, u_2, ..., u_r$が互いに直交するならば、1次独立であることを示す。

(2) (1)の逆が成り立つかどうかを判断し、成り立つ場合は証明し、成り立たない場合は反例を挙げる。

(3) $\mathbb{R}^3$のベクトルで、$\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ -2 \end{pmatrix}$と$\begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}$のそれぞれと直交し、ノルムが1のものを求める。

2. 解き方の手順

(1)

ベクトル$u_1, u_2, ..., u_r$が互いに直交するならば、

$c_1u_1 + c_2u_2 + ... + c_ru_r = 0$という線形結合を考える。

この式の両辺と$u_i$の内積を取る（ただし、$1 \le i \le r$）。

$\langle c_1u_1 + c_2u_2 + ... + c_ru_r, u_i \rangle = \langle 0, u_i \rangle$

内積の線形性より、

$c_1\langle u_1, u_i \rangle + c_2\langle u_2, u_i \rangle + ... + c_r\langle u_r, u_i \rangle = 0$

$u_1, u_2, ..., u_r$は互いに直交するため、$\langle u_j, u_i \rangle = 0$ (if $i \neq j$)。

したがって、$c_i\langle u_i, u_i \rangle = 0$。

$u_i$は零ベクトルではないので、$\langle u_i, u_i \rangle \neq 0$。

よって、$c_i = 0$。

これは、$i=1, 2, ..., r$の全てについて成り立つので、$c_1 = c_2 = ... = c_r = 0$。

したがって、$u_1, u_2, ..., u_r$は1次独立である。

(2)

(1)の逆は「1次独立な零ベクトルでないベクトル$u_1, u_2, ..., u_r$は互いに直交する」である。

これは一般には成り立たない。

反例：$\mathbb{R}^2$において、$u_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}$と$u_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$を考える。

$u_1$と$u_2$は1次独立だが、$\langle u_1, u_2 \rangle = 1 \neq 0$なので、直交しない。

(3)

求めるベクトルを$\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}$とする。

直交条件より、

$x - y - 2z = 0$

$-x + 2y + z = 0$

これを解くと、

$x = 3z, y = z$

よって、求めるベクトルは$\begin{pmatrix} 3z \\ z \\ z \end{pmatrix}$の形になる。

ノルムが1という条件より、

$(3z)^2 + z^2 + z^2 = 1$

$9z^2 + z^2 + z^2 = 1$

$11z^2 = 1$

$z = \pm \frac{1}{\sqrt{11}}$

したがって、求めるベクトルは$\begin{pmatrix} \frac{3}{\sqrt{11}} \\ \frac{1}{\sqrt{11}} \\ \frac{1}{\sqrt{11}} \end{pmatrix}$または$\begin{pmatrix} -\frac{3}{\sqrt{11}} \\ -\frac{1}{\sqrt{11}} \\ -\frac{1}{\sqrt{11}} \end{pmatrix}$。

3. 最終的な答え

(1) 略述

(2) 成り立たない。反例：$u_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}$, $u_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$

(3) $\begin{pmatrix} \frac{3}{\sqrt{11}} \\ \frac{1}{\sqrt{11}} \\ \frac{1}{\sqrt{11}} \end{pmatrix}$, $\begin{pmatrix} -\frac{3}{\sqrt{11}} \\ -\frac{1}{\sqrt{11}} \\ -\frac{1}{\sqrt{11}} \end{pmatrix}$