(1) 第2項が12, 第5項が768である等比数列 $\{a_n\}$ の一般項を求める。 (2) 初項が3, 公比が2の等比数列の初項から第10項までの和を求める。

1. 問題の内容

(1) 第2項が12, 第5項が768である等比数列 $\{a_n\}$ の一般項を求める。

(2) 初項が3, 公比が2の等比数列の初項から第10項までの和を求める。

2. 解き方の手順

(1)

等比数列の一般項を $a_n = ar^{n-1}$ とする。ただし、$a$は初項、$r$は公比である。

第2項が12であることから、$ar = 12$

第5項が768であることから、$ar^4 = 768$

これらの式から、$r$と$a$を求める。

$ar^4 / ar = 768 / 12$

$r^3 = 64$

$r = 4$

$a \cdot 4 = 12$

$a = 3$

よって、$a_n = 3 \cdot 4^{n-1}$

(2)

等比数列の和の公式は

$S_n = \frac{a(r^n - 1)}{r - 1}$

初項 $a=3$, 公比 $r=2$, 項数 $n=10$を代入すると

$S_{10} = \frac{3(2^{10} - 1)}{2 - 1}$

$S_{10} = 3(1024 - 1)$

$S_{10} = 3 \cdot 1023 = 3069$

3. 最終的な答え

(1) $a_n = 3 \cdot 4^{n-1}$

(2) 3069