与えられた複素数 $z$ に関する方程式を満たす点 $z$ 全体がどのような図形になるかを求める問題です。方程式は全部で4つあります。 (1) $|z-3| = 1$ (2) $|z+2i| = 2$ (3) $|z+2| = |z-i|$ (4) $|z+2+5i| = |z-1+3i|$

1. 問題の内容

与えられた複素数 $z$ に関する方程式を満たす点 $z$ 全体がどのような図形になるかを求める問題です。方程式は全部で4つあります。

(1) $|z-3| = 1$

(2) $|z+2i| = 2$

(3) $|z+2| = |z-i|$

(4) $|z+2+5i| = |z-1+3i|$

2. 解き方の手順

(1) $|z-3| = 1$

$z = x + yi$ とおくと、$|x+yi-3| = 1$ より、

$|(x-3) + yi| = 1$

$\sqrt{(x-3)^2 + y^2} = 1$

$(x-3)^2 + y^2 = 1$

これは、中心 $(3, 0)$、半径 $1$ の円を表します。

(2) $|z+2i| = 2$

$z = x + yi$ とおくと、$|x+yi+2i| = 2$ より、

$|x+(y+2)i| = 2$

$\sqrt{x^2 + (y+2)^2} = 2$

$x^2 + (y+2)^2 = 4$

これは、中心 $(0, -2)$、半径 $2$ の円を表します。

(3) $|z+2| = |z-i|$

$z = x + yi$ とおくと、$|x+yi+2| = |x+yi-i|$ より、

$|(x+2) + yi| = |x + (y-1)i|$

$\sqrt{(x+2)^2 + y^2} = \sqrt{x^2 + (y-1)^2}$

$(x+2)^2 + y^2 = x^2 + (y-1)^2$

$x^2 + 4x + 4 + y^2 = x^2 + y^2 - 2y + 1$

$4x + 4 = -2y + 1$

$4x + 2y = -3$

$2y = -4x - 3$

$y = -2x - \frac{3}{2}$

これは、傾き $-2$、切片 $-\frac{3}{2}$ の直線を表します。

(4) $|z+2+5i| = |z-1+3i|$

$z = x + yi$ とおくと、$|x+yi+2+5i| = |x+yi-1+3i|$ より、

$|(x+2) + (y+5)i| = |(x-1) + (y+3)i|$

$\sqrt{(x+2)^2 + (y+5)^2} = \sqrt{(x-1)^2 + (y+3)^2}$

$(x+2)^2 + (y+5)^2 = (x-1)^2 + (y+3)^2$

$x^2 + 4x + 4 + y^2 + 10y + 25 = x^2 - 2x + 1 + y^2 + 6y + 9$

$4x + 10y + 29 = -2x + 6y + 10$

$6x + 4y = -19$

$4y = -6x - 19$

$y = -\frac{3}{2}x - \frac{19}{4}$

これは、傾き $-\frac{3}{2}$、切片 $-\frac{19}{4}$ の直線を表します。

3. 最終的な答え

(1) 中心 $(3, 0)$、半径 $1$ の円

(2) 中心 $(0, -2)$、半径 $2$ の円

(3) 直線 $y = -2x - \frac{3}{2}$

(4) 直線 $y = -\frac{3}{2}x - \frac{19}{4}$