与えられた行列の固有値が全て実数であることを確かめ、直交行列を用いて上三角化する問題です。ここでは、問題(1)の行列 $ \begin{bmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ -2 & 4 & -1 \end{bmatrix} $ について解きます。

1. 問題の内容

与えられた行列の固有値が全て実数であることを確かめ、直交行列を用いて上三角化する問題です。ここでは、問題(1)の行列

$$

\begin{bmatrix}

1 & 2 & 0 \\

0 & 2 & 0 \\

-2 & 4 & -1

\end{bmatrix}

$$

について解きます。

2. 解き方の手順

(1) 固有方程式を解いて固有値を求める。

(2) 各固有値に対応する固有ベクトルを求める。

(3) グラム・シュミットの正規直交化法を用いて、互いに直交する正規化された固有ベクトルを求める。

(4) 正規直交化された固有ベクトルを列ベクトルとする直交行列を作成する。

(5) 作成した直交行列を用いて、元の行列を上三角化する。

まず、行列 $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ -2 & 4 & -1 \end{bmatrix}$ の固有値を求めます。

固有方程式は、$\det(A - \lambda I) = 0$ で与えられます。ここで、$I$ は単位行列、$\lambda$ は固有値です。

$$

\det \begin{bmatrix} 1-\lambda & 2 & 0 \\ 0 & 2-\lambda & 0 \\ -2 & 4 & -1-\lambda \end{bmatrix} = (1-\lambda)(2-\lambda)(-1-\lambda) = 0

$$

したがって、固有値は $\lambda_1 = 1$, $\lambda_2 = 2$, $\lambda_3 = -1$ となります。これらは全て実数です。

次に、各固有値に対応する固有ベクトルを求めます。

$\lambda_1 = 1$ のとき、$(A - I)v_1 = 0$ を解きます。

$$

\begin{bmatrix} 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ -2 & 4 & -2 \end{bmatrix}

\begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} =

\begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}

$$

$y=0$ かつ $-2x+4y-2z=0$ なので、$-2x-2z=0$ より $x=-z$ となります。

したがって、$v_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{bmatrix}$ は固有ベクトルの一つです。

$\lambda_2 = 2$ のとき、$(A - 2I)v_2 = 0$ を解きます。

$$

\begin{bmatrix} -1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ -2 & 4 & -3 \end{bmatrix}

\begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} =

\begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}

$$

$-x+2y=0$ かつ $-2x+4y-3z=0$ なので、 $x = 2y$ を代入して $-3z=0$ より $z=0$ となります。

したがって、$v_2 = \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}$ は固有ベクトルの一つです。

$\lambda_3 = -1$ のとき、$(A + I)v_3 = 0$ を解きます。

$$

\begin{bmatrix} 2 & 2 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ -2 & 4 & 0 \end{bmatrix}

\begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} =

\begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}

$$

$2x+2y=0$ かつ $3y=0$ なので、$y=0$ かつ $x=0$ となります。 $z$ は任意なので、$v_3 = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}$ は固有ベクトルの一つです。

これらの固有ベクトルは直交しています。

$v_1 \cdot v_2 = 1 \times 2 + 0 \times 1 + (-1) \times 0 = 2 \neq 0$. 直交していないのでグラムシュミットの直交化法を行う必要があります。

$v_1'=v_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{bmatrix}$

$v_2'=v_2 - \frac{v_2 \cdot v_1'}{v_1' \cdot v_1'}v_1' = \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} - \frac{2}{2} \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}$

$v_1' \cdot v_3 = 0$

$v_2' \cdot v_3 = 1$

正規化されたベクトルは以下になります。

$u_1 = \frac{v_1'}{||v_1'||} = \begin{bmatrix} 1/\sqrt{2} \\ 0 \\ -1/\sqrt{2} \end{bmatrix}$

$u_2 = \frac{v_2'}{||v_2'||} = \begin{bmatrix} 1/\sqrt{3} \\ 1/\sqrt{3} \\ 1/\sqrt{3} \end{bmatrix}$

$v_3' = v_3 - \frac{v_3 \cdot u_1}{u_1 \cdot u_1}u_1 - \frac{v_3 \cdot u_2}{u_2 \cdot u_2}u_2 = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} - 0 \times u_1 - \frac{1}{\sqrt{3}} \begin{bmatrix} 1/\sqrt{3} \\ 1/\sqrt{3} \\ 1/\sqrt{3} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1/3 \\ -1/3 \\ 2/3 \end{bmatrix}$

$u_3 = \frac{v_3'}{||v_3'||} = \begin{bmatrix} -1/\sqrt{6} \\ -1/\sqrt{6} \\ 2/\sqrt{6} \end{bmatrix}$

直交行列は $P = \begin{bmatrix} 1/\sqrt{2} & 1/\sqrt{3} & -1/\sqrt{6} \\ 0 & 1/\sqrt{3} & -1/\sqrt{6} \\ -1/\sqrt{2} & 1/\sqrt{3} & 2/\sqrt{6} \end{bmatrix}$ となります。

$P^{-1}AP = P^TAP = \begin{bmatrix} 1 & -\sqrt{2} & \sqrt{2/3} \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{bmatrix}$ となり、これは上三角行列です。

3. 最終的な答え

固有値: $\lambda_1 = 1$, $\lambda_2 = 2$, $\lambda_3 = -1$

直交行列: $P = \begin{bmatrix} 1/\sqrt{2} & 1/\sqrt{3} & -1/\sqrt{6} \\ 0 & 1/\sqrt{3} & -1/\sqrt{6} \\ -1/\sqrt{2} & 1/\sqrt{3} & 2/\sqrt{6} \end{bmatrix}$

上三角行列: $P^TAP = \begin{bmatrix} 1 & -\sqrt{2} & \sqrt{2/3} \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{bmatrix}$