数列$\{a_n\}$の初項から第$n$項までの和$S_n$が、$S_n = n^3 - 40n^2 + 80n$ ($n = 1, 2, 3, \dots$) で表されるとき、$a_1$と$a_n$を求める問題です。

1. 問題の内容

数列$\{a_n\}$の初項から第$n$項までの和$S_n$が、$S_n = n^3 - 40n^2 + 80n$ ($n = 1, 2, 3, \dots$) で表されるとき、$a_1$と$a_n$を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$a_1$を求めます。$a_1$は初項であり、$S_1$に等しいので、$n=1$を$S_n$の式に代入します。

$S_1 = 1^3 - 40(1^2) + 80(1) = 1 - 40 + 80 = 41$

よって、$a_1 = 41$です。

次に、$a_n$を求めます。$n \ge 2$のとき、$a_n = S_n - S_{n-1}$で求められます。

$S_n = n^3 - 40n^2 + 80n$

$S_{n-1} = (n-1)^3 - 40(n-1)^2 + 80(n-1)$

したがって、

$a_n = (n^3 - 40n^2 + 80n) - ((n-1)^3 - 40(n-1)^2 + 80(n-1))$

ここで、$(n-1)^3 = n^3 - 3n^2 + 3n - 1$

$(n-1)^2 = n^2 - 2n + 1$

なので、

$S_{n-1} = (n^3 - 3n^2 + 3n - 1) - 40(n^2 - 2n + 1) + 80(n-1)$

$S_{n-1} = n^3 - 3n^2 + 3n - 1 - 40n^2 + 80n - 40 + 80n - 80$

$S_{n-1} = n^3 - 43n^2 + 163n - 121$

$a_n = (n^3 - 40n^2 + 80n) - (n^3 - 43n^2 + 163n - 121)$

$a_n = 3n^2 - 83n + 121$

$n=1$のとき、$a_1 = 3(1)^2 - 83(1) + 121 = 3 - 83 + 121 = 41$となり、$a_1$の値と一致するので、$a_n = 3n^2 - 83n + 121$は、$n \ge 1$ですべての自然数$n$について成立します。

3. 最終的な答え

$a_1 = 41$

$a_n = 3n^2 - 83n + 121$