以下の2つの条件を満たす2次関数を求める問題です。 1) 頂点が $(2, 3)$ で、点 $(5, -6)$ を通る。 2) 軸が直線 $x = -2$ で、2点 $(2, -1)$, $(-8, 4)$ を通る。

1. 問題の内容

以下の2つの条件を満たす2次関数を求める問題です。

1) 頂点が $(2, 3)$ で、点 $(5, -6)$ を通る。

2) 軸が直線 $x = -2$ で、2点 $(2, -1)$, $(-8, 4)$ を通る。

2. 解き方の手順

1) 頂点が $(2, 3)$ で、点 $(5, -6)$ を通る場合

頂点の座標が与えられているので、2次関数を $y = a(x - 2)^2 + 3$ とおくことができます。

次に、この関数が点 $(5, -6)$ を通ることから、$x = 5$, $y = -6$ を代入して $a$ を求めます。

$-6 = a(5 - 2)^2 + 3$

$-6 = 9a + 3$

$9a = -9$

$a = -1$

したがって、求める2次関数は $y = -(x - 2)^2 + 3$ となります。

これを展開して整理すると、$y = -(x^2 - 4x + 4) + 3 = -x^2 + 4x - 4 + 3 = -x^2 + 4x - 1$ となります。

2) 軸が直線 $x = -2$ で、2点 $(2, -1)$, $(-8, 4)$ を通る場合

軸が $x = -2$ なので、2次関数を $y = a(x + 2)^2 + q$ とおくことができます。

この関数が2点 $(2, -1)$ と $(-8, 4)$ を通るので、それぞれ代入して $a$ と $q$ に関する連立方程式を作ります。

$(2, -1)$ を代入すると、$-1 = a(2 + 2)^2 + q$ より $-1 = 16a + q$。

$(-8, 4)$ を代入すると、$4 = a(-8 + 2)^2 + q$ より $4 = 36a + q$。

この連立方程式を解きます。

$36a + q = 4$

$16a + q = -1$

上の式から下の式を引くと、$20a = 5$ となり、$a = \frac{1}{4}$。

これを $16a + q = -1$ に代入すると、$16 \times \frac{1}{4} + q = -1$ より $4 + q = -1$ となり、$q = -5$。

したがって、求める2次関数は $y = \frac{1}{4}(x + 2)^2 - 5$ となります。

これを展開して整理すると、$y = \frac{1}{4}(x^2 + 4x + 4) - 5 = \frac{1}{4}x^2 + x + 1 - 5 = \frac{1}{4}x^2 + x - 4$ となります。

3. 最終的な答え

1) $y = -x^2 + 4x - 1$

2) $y = \frac{1}{4}x^2 + x - 4$