与えられた式 $8x^2 + 6xy - 5y^2$ を因数分解し、 $(ax - y)(bx + cy)$ の形式で表すときの $a$, $b$, $c$ の値を求める。

1. 問題の内容

与えられた式 $8x^2 + 6xy - 5y^2$ を因数分解し、 $(ax - y)(bx + cy)$ の形式で表すときの $a$, $b$, $c$ の値を求める。

2. 解き方の手順

まず、与えられた二次式を因数分解します。

$8x^2 + 6xy - 5y^2$ を $(ax - y)(bx + cy)$ の形に因数分解することを考えます。展開すると、

$$(ax - y)(bx + cy) = abx^2 + (ac-b)xy - cy^2$$

この式が $8x^2 + 6xy - 5y^2$ と等しくなるように、$a$, $b$, $c$ を定めます。

係数を比較すると、以下の連立方程式が得られます。

\begin{align} \label{eq:1} ab &= 8 \\ ac - b &= 6 \\ c &= 5\end{align}

$c=5$ を2番目の式に代入すると、

$5a - b = 6$ となります。したがって、 $b = 5a - 6$ です。

これを最初の式 $ab = 8$ に代入すると、

$a(5a - 6) = 8$ となります。

$5a^2 - 6a = 8$

$5a^2 - 6a - 8 = 0$

$(5a + 4)(a - 2) = 0$

$a = 2$ または $a = -4/5$ です。

$a=2$ のとき、$b = 5(2) - 6 = 10 - 6 = 4$。したがって、 $(2x-y)(4x+5y) = 8x^2 +10xy-4xy - 5y^2= 8x^2 + 6xy - 5y^2$.

$a=-4/5$のとき、$b = 5(-4/5)-6=-4-6=-10$. したがって, $(-4/5x-y)(-10x+5y) = 8x^2-2xy+10xy-5y^2=8x^2+8xy-5y^2$. これは元の式ではない。

したがって、$a = 2$, $b = 4$, $c = 5$ となります。

3. 最終的な答え

セ: 2

ソ: 4

タ: 5