$(1-2i)^3$ を計算しなさい。ここで $i$ は虚数単位です。

1. 問題の内容

$(1-2i)^3$ を計算しなさい。ここで $i$ は虚数単位です。

2. 解き方の手順

$(1-2i)^3$ を計算するために、まず $(1-2i)^2$ を計算し、その結果に $(1-2i)$ を掛けます。

ステップ1: $(1-2i)^2$ の計算

$(1-2i)^2 = (1-2i)(1-2i) = 1 - 2i - 2i + (2i)^2 = 1 - 4i + 4i^2$

ここで、$i^2 = -1$ なので、

$1 - 4i + 4i^2 = 1 - 4i + 4(-1) = 1 - 4i - 4 = -3 - 4i$

ステップ2: $(1-2i)^3$ の計算

$(1-2i)^3 = (1-2i)^2(1-2i) = (-3-4i)(1-2i) = -3 + 6i - 4i + 8i^2$

ここで、$i^2 = -1$ なので、

$-3 + 6i - 4i + 8i^2 = -3 + 2i + 8(-1) = -3 + 2i - 8 = -11 + 2i$

3. 最終的な答え

$-11 + 2i$