ある等比数列において、初項から第$n$項までの和が54、初項から第$2n$項までの和が63であるとき、初項から第$3n$項までの和を求めよ。

1. 問題の内容

ある等比数列において、初項から第$n$項までの和が54、初項から第$2n$項までの和が63であるとき、初項から第$3n$項までの和を求めよ。

2. 解き方の手順

等比数列の初項を$a$, 公比を$r$とすると、初項から第$n$項までの和$S_n$は、

$S_n = \frac{a(1-r^n)}{1-r}$

で表される。同様に、初項から第$2n$項までの和$S_{2n}$は、

$S_{2n} = \frac{a(1-r^{2n})}{1-r}$

で表される。また、初項から第$3n$項までの和$S_{3n}$は、

$S_{3n} = \frac{a(1-r^{3n})}{1-r}$

で表される。

問題文より、$S_n = 54$、 $S_{2n} = 63$であるから、

$\frac{a(1-r^n)}{1-r} = 54$ (1)

$\frac{a(1-r^{2n})}{1-r} = 63$ (2)

(2)式を(1)式で割ると、

$\frac{1-r^{2n}}{1-r^n} = \frac{63}{54} = \frac{7}{6}$

$\frac{(1-r^n)(1+r^n)}{1-r^n} = \frac{7}{6}$

$1+r^n = \frac{7}{6}$

$r^n = \frac{7}{6} - 1 = \frac{1}{6}$ (3)

次に、$S_{3n}$を考える。

$S_{3n} = \frac{a(1-r^{3n})}{1-r} = \frac{a(1-(r^n)^3)}{1-r}$

ここで、$r^n = \frac{1}{6}$を代入すると、

$S_{3n} = \frac{a(1-(\frac{1}{6})^3)}{1-r} = \frac{a(1-\frac{1}{216})}{1-r} = \frac{a(\frac{215}{216})}{1-r}$

また、$S_n = \frac{a(1-r^n)}{1-r} = 54$であったから、

$\frac{a(1-\frac{1}{6})}{1-r} = 54$

$\frac{a(\frac{5}{6})}{1-r} = 54$

$\frac{a}{1-r} = \frac{54 \times 6}{5} = \frac{324}{5}$

したがって、

$S_{3n} = \frac{a}{1-r} \times \frac{215}{216} = \frac{324}{5} \times \frac{215}{216} = \frac{324}{216} \times \frac{215}{5} = \frac{3}{2} \times 43 = \frac{129}{2} = 64.5$

3. 最終的な答え

初項から第$3n$項までの和は$\frac{129}{2}$ = 64.5