問題1は、二項係数の計算と二項定理の展開式を求める問題です。 問題2は、関数に関する用語の定義を記述する問題です。 問題3は、与えられた関数について、指定された $x$ の値に対する $f(x)$ の値を計算し、グラフを描く問題です。

1. 問題の内容

問題1は、二項係数の計算と二項定理の展開式を求める問題です。

問題2は、関数に関する用語の定義を記述する問題です。

問題3は、与えられた関数について、指定された $x$ の値に対する $f(x)$ の値を計算し、グラフを描く問題です。

2. 解き方の手順

問題1:

(1) 6個の対象物から2個を取り出す組み合わせの数、すなわち $6C2$ を計算します。

$6C2 = \frac{6!}{2!(6-2)!} = \frac{6!}{2!4!} = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15$

(2) $(a+b)^6$ を展開します。二項定理より、

$(a+b)^6 = a^6 + 6a^5b + 15a^4b^2 + 20a^3b^3 + 15a^2b^4 + 6ab^5 + b^6$

問題2:

(1) $D$の各元に対して$Y$の元を唯一つ対応させる規則を、$D$上の関数といい、記号は $f: D \rightarrow Y$ で表します。また、$x \in D$ に対して、$y \in Y$ を対応させることを、記号 $y = f(x)$ で表します。集合 $D$ を $f$ の定義域といい、$Y$の部分集合 $f(D) = \{f(x) \mid x \in D\}$ を $f$ の値域といいます。より一般に、集合 $X$ の各元に対して、集合 $Y$ のある元を唯一つ対応させる規則を、$X$から$Y$への写像と呼びます。

(2) 関数 $f: D \rightarrow \mathbb{R}$ に対し、$\mathbb{R}^2$ の部分集合 $G = \{(x, f(x)) \mid x \in D\}$ を関数のグラフという。 $xy$ 平面上で、$G$ に属する点を打ち、且つ、属さない点を打たないことにより、関数 $y = f(x)$ のグラフ $G$ を図示できる。

問題3:

(1) $f(x) = \frac{1}{2}(x+1)^2 - 1$

$x = -2$ のとき, $f(-2) = \frac{1}{2}(-2+1)^2 - 1 = \frac{1}{2}(1) - 1 = -\frac{1}{2} = -0.5$

$x = -1$ のとき, $f(-1) = \frac{1}{2}(-1+1)^2 - 1 = \frac{1}{2}(0) - 1 = -1$

$x = 0$ のとき, $f(0) = \frac{1}{2}(0+1)^2 - 1 = \frac{1}{2}(1) - 1 = -\frac{1}{2} = -0.5$

$x = 1$ のとき, $f(1) = \frac{1}{2}(1+1)^2 - 1 = \frac{1}{2}(4) - 1 = 2 - 1 = 1$

$x = 2$ のとき, $f(2) = \frac{1}{2}(2+1)^2 - 1 = \frac{1}{2}(9) - 1 = \frac{9}{2} - 1 = \frac{7}{2} = 3.5$

グラフは、これらの点を滑らかにつなぐ放物線になります。

(2) $f(x) = \frac{2}{x} + 1$

$x = -2$ のとき, $f(-2) = \frac{2}{-2} + 1 = -1 + 1 = 0$

$x = -1$ のとき, $f(-1) = \frac{2}{-1} + 1 = -2 + 1 = -1$

$x = 0$ のとき, $f(0)$ は定義されません (分母が0になるため)。

$x = 1$ のとき, $f(1) = \frac{2}{1} + 1 = 2 + 1 = 3$

$x = 2$ のとき, $f(2) = \frac{2}{2} + 1 = 1 + 1 = 2$

グラフは、これらの点を滑らかにつなぐ双曲線になります。$x=0$ は漸近線になります。

3. 最終的な答え

問題1:

(1) 15

(2) $a^6 + 6a^5b + 15a^4b^2 + 20a^3b^3 + 15a^2b^4 + 6ab^5 + b^6$

問題2:

(1) $f: D \rightarrow Y$, $y = f(x)$, 定義域, $\{f(x) \mid x \in D\}$, 値域, 写像

(2) $\{(x, f(x)) \mid x \in D\}$

問題3:

(1)

x | -2 | -1 | 0 | 1 | 2

---|---|---|---|---|---

f(x) | -0.5 | -1 | -0.5 | 1 | 3.5

(2)

x | -2 | -1 | 0 | 1 | 2

---|---|---|---|---|---

f(x) | 0 | -1 | 定義されない | 3 | 2