(3) $x(x+1)(x+2) = 3 \cdot 4 \cdot 5$ を解く。 (4) $(x^2 - x)^2 - 8(x^2 - x) + 12 = 0$ を解く。

1. 問題の内容

(3) $x(x+1)(x+2) = 3 \cdot 4 \cdot 5$ を解く。

(4) $(x^2 - x)^2 - 8(x^2 - x) + 12 = 0$ を解く。

2. 解き方の手順

(3)

まず、右辺を計算します。$3 \cdot 4 \cdot 5 = 60$

次に、左辺を展開します。

$x(x+1)(x+2) = x(x^2 + 3x + 2) = x^3 + 3x^2 + 2x$

したがって、$x^3 + 3x^2 + 2x = 60$

$x^3 + 3x^2 + 2x - 60 = 0$

$x=3$ を代入すると、$3^3 + 3(3^2) + 2(3) - 60 = 27 + 27 + 6 - 60 = 60 - 60 = 0$ となるため、$x=3$ はこの方程式の解です。

$x^3 + 3x^2 + 2x - 60$ を $(x-3)$ で割ると、$x^2 + 6x + 20$ となります。

$x^2 + 6x + 20 = 0$ の解を求めます。

解の公式より、$x = \frac{-6 \pm \sqrt{6^2 - 4(1)(20)}}{2} = \frac{-6 \pm \sqrt{36 - 80}}{2} = \frac{-6 \pm \sqrt{-44}}{2} = \frac{-6 \pm 2i\sqrt{11}}{2} = -3 \pm i\sqrt{11}$

したがって、$x=3, -3 + i\sqrt{11}, -3 - i\sqrt{11}$

(4)

$x^2 - x = t$ と置換します。すると、

$t^2 - 8t + 12 = 0$

$(t-2)(t-6) = 0$

$t = 2$ または $t = 6$

$x^2 - x = 2$ のとき、$x^2 - x - 2 = 0$ より、$(x-2)(x+1) = 0$ なので、$x=2, -1$

$x^2 - x = 6$ のとき、$x^2 - x - 6 = 0$ より、$(x-3)(x+2) = 0$ なので、$x=3, -2$

したがって、$x = -2, -1, 2, 3$

3. 最終的な答え

(3) $x=3, -3 + i\sqrt{11}, -3 - i\sqrt{11}$

(4) $x = -2, -1, 2, 3$