## 1. 問題の内容

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1. 問題の内容

与えられた数式を計算せよ。ここでは、(3)、(4)、(5)の問題を解きます。

(3) $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}+\sqrt{3}} + \frac{5\sqrt{5}}{\sqrt{3}+\sqrt{8}}$

(4) $\frac{\sqrt{5}-1}{\sqrt{5}+3} - \frac{\sqrt{5}+3}{\sqrt{5}-1}$

(5) $\frac{1}{2-\sqrt{3}} - \frac{1}{\sqrt{3}-\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}-1}$

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2. 解き方の手順

### (3) の解き方

分母の有理化を行います。

$\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}+\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{5}(\sqrt{2}-\sqrt{3})}{(\sqrt{2}+\sqrt{3})(\sqrt{2}-\sqrt{3})} = \frac{\sqrt{10}-\sqrt{15}}{2-3} = \frac{\sqrt{10}-\sqrt{15}}{-1} = \sqrt{15}-\sqrt{10}$

$\frac{5\sqrt{5}}{\sqrt{3}+\sqrt{8}} = \frac{5\sqrt{5}(\sqrt{3}-\sqrt{8})}{(\sqrt{3}+\sqrt{8})(\sqrt{3}-\sqrt{8})} = \frac{5\sqrt{15}-5\sqrt{40}}{3-8} = \frac{5\sqrt{15}-5 \times 2\sqrt{10}}{-5} = \frac{5\sqrt{15}-10\sqrt{10}}{-5} = -\sqrt{15} + 2\sqrt{10}$

よって、

$\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}+\sqrt{3}} + \frac{5\sqrt{5}}{\sqrt{3}+\sqrt{8}} = (\sqrt{15}-\sqrt{10}) + (-\sqrt{15} + 2\sqrt{10}) = \sqrt{10}$

### (4) の解き方

通分して計算します。

$\frac{\sqrt{5}-1}{\sqrt{5}+3} - \frac{\sqrt{5}+3}{\sqrt{5}-1} = \frac{(\sqrt{5}-1)^2 - (\sqrt{5}+3)^2}{(\sqrt{5}+3)(\sqrt{5}-1)} = \frac{(5 - 2\sqrt{5} + 1) - (5 + 6\sqrt{5} + 9)}{5 + 3\sqrt{5} - \sqrt{5} - 3} = \frac{6 - 2\sqrt{5} - 14 - 6\sqrt{5}}{2 + 2\sqrt{5}} = \frac{-8 - 8\sqrt{5}}{2 + 2\sqrt{5}} = \frac{-8(1+\sqrt{5})}{2(1+\sqrt{5})} = -4$

### (5) の解き方

分母の有理化を行います。

$\frac{1}{2-\sqrt{3}} = \frac{2+\sqrt{3}}{(2-\sqrt{3})(2+\sqrt{3})} = \frac{2+\sqrt{3}}{4-3} = 2+\sqrt{3}$

$\frac{1}{\sqrt{3}-\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{(\sqrt{3}-\sqrt{2})(\sqrt{3}+\sqrt{2})} = \frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{3-2} = \sqrt{3}+\sqrt{2}$

$\frac{1}{\sqrt{2}-1} = \frac{\sqrt{2}+1}{(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}+1)} = \frac{\sqrt{2}+1}{2-1} = \sqrt{2}+1$

よって、

$\frac{1}{2-\sqrt{3}} - \frac{1}{\sqrt{3}-\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}-1} = (2+\sqrt{3}) - (\sqrt{3}+\sqrt{2}) + (\sqrt{2}+1) = 2+\sqrt{3}-\sqrt{3}-\sqrt{2}+\sqrt{2}+1 = 3$

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3. 最終的な答え

(3) $\sqrt{10}$

(4) $-4$

(5) $3$