次の点を表す複素数を求める問題です。 (1) 2点 $A(-2+5i)$, $B(6-9i)$ を結ぶ線分 $AB$ の中点 (2) 2点 $A(1-i)$, $B(4+3i)$ を結ぶ線分 $AB$ を $2:1$ に内分する点、外分する点 (3) 3点 $A(-1+4i)$, $B(3+2i)$, $C(4-3i)$ を頂点とする $\triangle ABC$ の重心

1. 問題の内容

次の点を表す複素数を求める問題です。

(1) 2点 $A(-2+5i)$, $B(6-9i)$ を結ぶ線分 $AB$ の中点

(2) 2点 $A(1-i)$, $B(4+3i)$ を結ぶ線分 $AB$ を $2:1$ に内分する点、外分する点

(3) 3点 $A(-1+4i)$, $B(3+2i)$, $C(4-3i)$ を頂点とする $\triangle ABC$ の重心

2. 解き方の手順

(1) 線分 $AB$ の中点を表す複素数 $z$ は、

$z = \frac{A+B}{2}$

で求められます。

$z = \frac{(-2+5i)+(6-9i)}{2} = \frac{4-4i}{2} = 2-2i$

(2) 線分 $AB$ を $m:n$ に内分する点を表す複素数 $z_{内}$ は、

$z_{内} = \frac{nA+mB}{m+n}$

で求められます。

線分 $AB$ を $m:n$ に外分する点を表す複素数 $z_{外}$ は、

$z_{外} = \frac{-nA+mB}{m-n}$

で求められます。

内分点($2:1$)：

$z_{内} = \frac{1 \cdot (1-i) + 2 \cdot (4+3i)}{2+1} = \frac{1-i+8+6i}{3} = \frac{9+5i}{3} = 3 + \frac{5}{3}i$

外分点($2:1$)：

$z_{外} = \frac{-1 \cdot (1-i) + 2 \cdot (4+3i)}{2-1} = \frac{-1+i+8+6i}{1} = 7+7i$

(3) $\triangle ABC$ の重心を表す複素数 $z_G$ は、

$z_G = \frac{A+B+C}{3}$

で求められます。

$z_G = \frac{(-1+4i)+(3+2i)+(4-3i)}{3} = \frac{6+3i}{3} = 2+i$

3. 最終的な答え

(1) $2-2i$

(2) 内分点: $3 + \frac{5}{3}i$, 外分点: $7+7i$

(3) $2+i$