与えられた数 $a = \frac{1}{3-2\sqrt{2}}$ について、以下の問題を解きます。 (1) $a$ の分母を有理化し、簡単にします。 (2) $a$ の小数部分を $b$ とするとき、$b$ の値を求め、$a^2 - b^2$ の値を求めます。 (3) (2)で求めた $b$ を用いて、$x$ に関する不等式 $p < x < p+4b$ を満たす整数 $x$ が3個あり、その3個の整数の和が0となるような $p$ の値の範囲を求めます。

1. 問題の内容

与えられた数 $a = \frac{1}{3-2\sqrt{2}}$ について、以下の問題を解きます。

(1) $a$ の分母を有理化し、簡単にします。

(2) $a$ の小数部分を $b$ とするとき、$b$ の値を求め、$a^2 - b^2$ の値を求めます。

(3) (2)で求めた $b$ を用いて、$x$ に関する不等式 $p < x < p+4b$ を満たす整数 $x$ が3個あり、その3個の整数の和が0となるような $p$ の値の範囲を求めます。

2. 解き方の手順

(1) $a$ の分母を有理化します。

$a = \frac{1}{3-2\sqrt{2}} = \frac{3+2\sqrt{2}}{(3-2\sqrt{2})(3+2\sqrt{2})} = \frac{3+2\sqrt{2}}{9-8} = 3+2\sqrt{2}$

(2) $a = 3+2\sqrt{2}$ の小数部分 $b$ を求めます。

$\sqrt{2} \approx 1.414$ なので $2\sqrt{2} \approx 2.828$

$a = 3+2\sqrt{2} \approx 3+2.828 = 5.828$

$a$ の整数部分は5なので、小数部分 $b = a - 5 = 3+2\sqrt{2} - 5 = 2\sqrt{2} - 2$

次に、$a^2 - b^2$ を求めます。

$a^2 - b^2 = (a+b)(a-b) = (3+2\sqrt{2} + 2\sqrt{2} - 2)(3+2\sqrt{2} - (2\sqrt{2} - 2)) = (1+4\sqrt{2})(5) = 5+20\sqrt{2}$

(3) $p < x < p+4b$ を満たす整数 $x$ が3個あり、その3個の整数の和が0となるような $p$ の値の範囲を求めます。

$b = 2\sqrt{2} - 2$ なので、$4b = 8\sqrt{2} - 8$

不等式は $p < x < p+8\sqrt{2} - 8$ となります。$\sqrt{2} \approx 1.414$ より $8\sqrt{2} \approx 11.312$ なので、$p < x < p + 11.312 - 8$ つまり $p < x < p + 3.312$ となります。

$p < x < p+3.312$ を満たす整数 $x$ が3個であることから、これらの整数を $n-1, n, n+1$ とすると、その和が0となるためには、中心の整数が0である必要があります。よって、3つの整数は $-1, 0, 1$ となります。

このとき、 $p < -1$ かつ $1 < p+3.312$ でなければなりません。

$p < -1$ はそのまま。

$1 < p+3.312$ より $p > 1-3.312$ なので $p > -2.312$ となります。

また、$-2 \ge p$ かつ $2 \ge p+3.312$ である必要もあります。

$-2 \ge p$

$2 \ge p+3.312$ より $p \le 2-3.312 = -1.312$

以上より、 $-2.312 < p \le -2$ および $-1 \ge p \ge -1.312$ です。

3つの整数が $-1, 0, 1$ であるためには、$p < -1$ かつ $p+3.312 > 1$ でなければならない。

$p < -1$

$p > 1-3.312 = -2.312$

$-2.312 < p < -1$

次に、$p < -1 < p+3.312$

$p < 0 < p+3.312$

$p < 1 < p+3.312$

である必要がある。また、

$p > -2$ ではダメ

$p > -1$ ではダメ

なので、$p$ の範囲は $-2.312 < p < -2$ と $-1.312 < p < -1$

3. 最終的な答え

(1) $3+2\sqrt{2}$

(2) $b = 2\sqrt{2}-2$, $a^2 - b^2 = 5+20\sqrt{2}$

(3) $-2.312 < p < -2$ および $-1.312 < p < -1$

または $-8\sqrt{2}+7<p \le -6$ および $-5<p \le -8\sqrt{2}+5$