2次方程式 $x^2 - 2mx + m + 2 = 0$ が異なる2つの実数解を持つとき、定数 $m$ の値の範囲を求める。

1. 問題の内容

2次方程式 $x^2 - 2mx + m + 2 = 0$ が異なる2つの実数解を持つとき、定数 $m$ の値の範囲を求める。

2. 解き方の手順

2次方程式が異なる2つの実数解を持つためには、判別式 $D$ が正である必要がある。

判別式 $D$ は、$D = b^2 - 4ac$ で与えられる。

この問題の場合、$a = 1$, $b = -2m$, $c = m + 2$ であるから、

$D = (-2m)^2 - 4(1)(m + 2)$

$D = 4m^2 - 4m - 8$

$D > 0$ となる $m$ の範囲を求める。

$4m^2 - 4m - 8 > 0$

両辺を4で割ると、

$m^2 - m - 2 > 0$

$(m - 2)(m + 1) > 0$

この不等式を解く。$m - 2 = 0$ となるのは $m = 2$、$m + 1 = 0$ となるのは $m = -1$ である。

したがって、$m < -1$ または $m > 2$ である。

3. 最終的な答え

$m < -1$ または $m > 2$