問題は、3次方程式 $x(x+1)(x+2)=3 \cdot 4 \cdot 5$ を解くことです。

1. 問題の内容

問題は、3次方程式 $x(x+1)(x+2)=3 \cdot 4 \cdot 5$ を解くことです。

2. 解き方の手順

与えられた方程式は、$x(x+1)(x+2)=3 \cdot 4 \cdot 5$ です。

右辺を計算すると、 $3 \cdot 4 \cdot 5 = 60$ です。

したがって、方程式は $x(x+1)(x+2) = 60$ となります。

ここで、$x, x+1, x+2$ が連続する3つの整数であることに注目します。

右辺の 60 を、連続する3つの整数の積で表すことを考えます。

$3 \cdot 4 \cdot 5 = 60$ であることから、$x=3$ が解の一つであることがわかります。

$x=3$ を元の式に代入すると、$3(3+1)(3+2) = 3 \cdot 4 \cdot 5 = 60$ となり、確かに成り立ちます。

したがって、$x=3$ は方程式の解です。

一応、方程式を展開して確認してみましょう。

$x(x+1)(x+2)=60$

$x(x^2 + 3x + 2) = 60$

$x^3 + 3x^2 + 2x = 60$

$x^3 + 3x^2 + 2x - 60 = 0$

$x=3$ が解なので、$x-3$ を因数に持ちます。組み立て除法を使って、

$(x-3)(x^2 + 6x + 20) = 0$

$x^2+6x+20=0$を解の公式で解くと、

$x = \frac{-6 \pm \sqrt{36-4\cdot20}}{2} = \frac{-6 \pm \sqrt{36-80}}{2} = \frac{-6 \pm \sqrt{-44}}{2} = \frac{-6 \pm 2i\sqrt{11}}{2} = -3 \pm i\sqrt{11}$

となるので、$x= -3 + i\sqrt{11}$ と $x = -3 - i\sqrt{11}$も解ですが、問題はおそらく実数解を求めていると思われるので、$x=3$のみを答えます。

3. 最終的な答え

$x=3$