実数 $x$, $y$ に対して、以下の不等式を証明する問題です。 (1) $|x + y| \leq |x| + |y|$ (三角不等式) (2) $||x| - |y|| \leq |x - y|$

1. 問題の内容

実数 $x$, $y$ に対して、以下の不等式を証明する問題です。

(1) $|x + y| \leq |x| + |y|$ (三角不等式)

(2) $||x| - |y|| \leq |x - y|$

2. 解き方の手順

(1) $|x + y| \leq |x| + |y|$ の証明

絶対値の定義から、$-|x| \leq x \leq |x|$ および $-|y| \leq y \leq |y|$ が成り立ちます。

これらの不等式を足し合わせると、

$-|x| - |y| \leq x + y \leq |x| + |y|$

つまり、

$-(|x| + |y|) \leq x + y \leq |x| + |y|$

これは、

$|x + y| \leq |x| + |y|$

を意味します。

(2) $||x| - |y|| \leq |x - y|$ の証明

$x = (x - y) + y$ と変形すると、三角不等式より、

$|x| = |(x - y) + y| \leq |x - y| + |y|$

したがって、

$|x| - |y| \leq |x - y|$

同様に、$y = (y - x) + x$ と変形すると、

$|y| = |(y - x) + x| \leq |y - x| + |x|$

したがって、

$|y| - |x| \leq |y - x| = |x - y|$

したがって、

$-|x - y| \leq |x| - |y| \leq |x - y|$

これは、

$||x| - |y|| \leq |x - y|$

を意味します。

3. 最終的な答え

(1) $|x + y| \leq |x| + |y|$ が証明されました。

(2) $||x| - |y|| \leq |x - y|$ が証明されました。