与えられた式 $a^2b+ab^2+b^2c+bc^2+c^2a+ca^2+2abc$ を因数分解する。

## (1) の問題

1. 問題の内容

与えられた式 $a^2b+ab^2+b^2c+bc^2+c^2a+ca^2+2abc$ を因数分解する。

2. 解き方の手順

この式は $a, b, c$ に関して対称式であることに注目する。つまり、$a, b, c$ のどれを入れ替えても式全体が変わらない。このような対称式は $(a+b+c)$ を因数に持つことが多い。

まず、与えられた式を $a$ について整理する。

$a^2b+ab^2+b^2c+bc^2+c^2a+ca^2+2abc = (b+c)a^2 + (b^2+2bc+c^2)a + (b^2c+bc^2)$

$a$ について整理すると、

$(b+c)a^2 + (b+c)^2a + bc(b+c)$

$(b+c)$ が共通因数なので、

$(b+c)[a^2 + (b+c)a + bc]$

さらに、$a^2 + (b+c)a + bc$ を因数分解する。これは $(a+b)(a+c)$ となる。したがって、

$(b+c)(a+b)(a+c)$

これを整理すると

$(a+b)(b+c)(c+a)$

3. 最終的な答え

$(a+b)(b+c)(c+a)$

## (2) の問題

1. 問題の内容

与えられた式 $a^2(b-c)+b^2(c-a)+c^2(a-b)$ を因数分解する。

2. 解き方の手順

この式は交代式である。$a, b, c$ のどれか二つを入れ替えると式の符号が変わる。交代式は $(a-b)(b-c)(c-a)$ を因数に持つことが多い。

まず式を展開する。

$a^2(b-c)+b^2(c-a)+c^2(a-b) = a^2b - a^2c + b^2c - b^2a + c^2a - c^2b$

これを $a$ について整理する。

$a^2(b-c) + a(c^2-b^2) + (b^2c-bc^2)$

$a^2(b-c) - a(b^2-c^2) + bc(b-c)$

$(b-c)$ が共通因数なので、

$(b-c)[a^2 - a(b+c) + bc]$

括弧内を因数分解すると、

$(b-c)(a-b)(a-c)$

符号を整理すると、

$-(a-b)(b-c)(c-a)$

3. 最終的な答え

$-(a-b)(b-c)(c-a)$

## (3) の問題

1. 問題の内容

与えられた式 $ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)+3abc$ を因数分解する。

2. 解き方の手順

まず、式を展開する。

$ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)+3abc = a^2b+ab^2+b^2c+bc^2+c^2a+ca^2+3abc$

この式を $a$ について整理する。

$(b+c)a^2+(b^2+c^2+3bc)a+bc(b+c)$

$(b+c)a^2+(b^2+c^2+3bc)a+b^2c+bc^2$

$=(b+c)a^2 + (b^2+3bc+c^2)a + bc(b+c)$

$=(a+b)(a+c)(b+c)$を展開すると

$(a+b)(ac+bc+a^2+ab) = a^2c + abc + a^3 + a^2b+abc + b^2c + a^2b + ab^2 = a^3 + a^2b +a^2c + ab^2 +2abc + b^2c + abc^2$

$(a+b)(a+c)(b+c) = (a+b)(bc + b^2+c^2+ac)$

$=abc + ab^2 + ac^2+ a^2c + b^2c +b^3+bc^2 + abc$

$= a^2b+ab^2+b^2c+bc^2+c^2a+ca^2+2abc + abc$

$=a^2b+ab^2+b^2c+bc^2+c^2a+ca^2+3abc$

与えられた式は$(a+b)(b+c)(c+a)$となる。

3. 最終的な答え

$(a+b)(b+c)(c+a)$