与えられた連立不等式を解き、$x$の範囲を求める問題です。 連立不等式は次の通りです。 $\begin{cases} \frac{5}{6}x - \frac{1}{3} < \frac{1}{3}x + \frac{1}{2} \\ \frac{4x+3}{2} \le 4x - 1 \end{cases}$

1. 問題の内容

与えられた連立不等式を解き、$x$の範囲を求める問題です。

連立不等式は次の通りです。

$\begin{cases}

\frac{5}{6}x - \frac{1}{3} < \frac{1}{3}x + \frac{1}{2} \\

\frac{4x+3}{2} \le 4x - 1

\end{cases}$

2. 解き方の手順

まず、一つ目の不等式を解きます。

$\frac{5}{6}x - \frac{1}{3} < \frac{1}{3}x + \frac{1}{2}$

両辺に6をかけます。

$6(\frac{5}{6}x - \frac{1}{3}) < 6(\frac{1}{3}x + \frac{1}{2})$

$5x - 2 < 2x + 3$

$5x - 2x < 3 + 2$

$3x < 5$

$x < \frac{5}{3}$

次に、二つ目の不等式を解きます。

$\frac{4x+3}{2} \le 4x - 1$

両辺に2をかけます。

$2(\frac{4x+3}{2}) \le 2(4x - 1)$

$4x + 3 \le 8x - 2$

$4x - 8x \le -2 - 3$

$-4x \le -5$

両辺を-4で割ります。不等号の向きが変わります。

$x \ge \frac{5}{4}$

したがって、連立不等式を満たす$x$の範囲は

$\frac{5}{4} \le x < \frac{5}{3}$

3. 最終的な答え

$\frac{5}{4} \le x < \frac{5}{3}$