第3項が18、第5項が162である等比数列 $\{a_n\}$ について、以下の問題を解きます。 (1) 一般項を求める。 (2) 第7項を求める。 (3) 各項が正のとき、初項から第5項までの和を求める。

1. 問題の内容

第3項が18、第5項が162である等比数列 $\{a_n\}$ について、以下の問題を解きます。

(1) 一般項を求める。

(2) 第7項を求める。

(3) 各項が正のとき、初項から第5項までの和を求める。

2. 解き方の手順

(1) 一般項を求める。

等比数列の一般項を $a_n = ar^{n-1}$ とおきます。ここで、$a$ は初項、$r$ は公比です。

問題文より、$a_3 = ar^2 = 18$ であり、$a_5 = ar^4 = 162$ です。

$\frac{a_5}{a_3} = \frac{ar^4}{ar^2} = r^2 = \frac{162}{18} = 9$

したがって、$r = \pm 3$ となります。

$r=3$ のとき、$a(3^2) = 9a = 18$ より $a = 2$

$r=-3$ のとき、$a((-3)^2) = 9a = 18$ より $a = 2$

したがって、

$r=3$ のとき、$a_n = 2 \cdot 3^{n-1}$

$r=-3$ のとき、$a_n = 2 \cdot (-3)^{n-1}$

(2) 第7項を求める。

(1)で求めた一般項を用いて、$a_7$ を求めます。

$r=3$ のとき、$a_7 = 2 \cdot 3^{7-1} = 2 \cdot 3^6 = 2 \cdot 729 = 1458$

$r=-3$ のとき、$a_7 = 2 \cdot (-3)^{7-1} = 2 \cdot (-3)^6 = 2 \cdot 729 = 1458$

いずれの場合も、$a_7 = 1458$ です。

(3) 各項が正のとき、初項から第5項までの和を求める。

各項が正なので、$r=3$ の場合のみを考えます。$a_n = 2 \cdot 3^{n-1}$

初項は $a = 2$、公比は $r = 3$、項数は $n = 5$ です。

等比数列の和の公式は $S_n = \frac{a(r^n - 1)}{r - 1}$ です。

したがって、$S_5 = \frac{2(3^5 - 1)}{3 - 1} = \frac{2(243 - 1)}{2} = 242$

3. 最終的な答え

(1) 一般項: $a_n = 2 \cdot 3^{n-1}$ または $a_n = 2 \cdot (-3)^{n-1}$

(2) 第7項: $a_7 = 1458$

(3) 初項から第5項までの和: $S_5 = 242$