2次関数 $y = 2x^2 + 3x + 1$ を、$x$軸方向に2、$y$軸方向に3だけ平行移動した放物線の方程式を求める。

1. 問題の内容

2次関数 $y = 2x^2 + 3x + 1$ を、$x$軸方向に2、$y$軸方向に3だけ平行移動した放物線の方程式を求める。

2. 解き方の手順

平行移動の公式を利用します。

$x$軸方向に$p$、$y$軸方向に$q$だけ平行移動する場合、$x$を$x-p$、$y$を$y-q$に置き換えます。

今回は、$x$軸方向に2、$y$軸方向に3だけ平行移動するので、$x$を$x-2$、$y$を$y-3$に置き換えます。

元の式は $y = 2x^2 + 3x + 1$ です。

置き換えると、$y-3 = 2(x-2)^2 + 3(x-2) + 1$ となります。

これを展開して整理します。

$y-3 = 2(x^2 - 4x + 4) + 3x - 6 + 1$

$y-3 = 2x^2 - 8x + 8 + 3x - 6 + 1$

$y-3 = 2x^2 - 5x + 3$

$y = 2x^2 - 5x + 3 + 3$

$y = 2x^2 - 5x + 6$

3. 最終的な答え

$y = 2x^2 - 5x + 6$