ベクトル $\vec{a} = (-7, 4)$ と $\vec{b} = (2, -3)$ が与えられている。実数 $t$ に対して、$\left| \vec{a} + t\vec{b} \right|$ が最小となる $t$ の値と、その最小値を求める問題。

1. 問題の内容

ベクトル $\vec{a} = (-7, 4)$ と $\vec{b} = (2, -3)$ が与えられている。実数 $t$ に対して、$\left| \vec{a} + t\vec{b} \right|$ が最小となる $t$ の値と、その最小値を求める問題。

2. 解き方の手順

まず、$\vec{a} + t\vec{b}$ を計算する。

$\vec{a} + t\vec{b} = (-7, 4) + t(2, -3) = (-7 + 2t, 4 - 3t)$

次に、$\left| \vec{a} + t\vec{b} \right|^2$ を計算する。

$\left| \vec{a} + t\vec{b} \right|^2 = (-7 + 2t)^2 + (4 - 3t)^2$

$= (49 - 28t + 4t^2) + (16 - 24t + 9t^2)$

$= 13t^2 - 52t + 65$

$\left| \vec{a} + t\vec{b} \right|$ を最小にする $t$ の値は、$\left| \vec{a} + t\vec{b} \right|^2$ を最小にする $t$ の値と一致する。

$\left| \vec{a} + t\vec{b} \right|^2 = 13t^2 - 52t + 65 = 13(t^2 - 4t) + 65 = 13(t^2 - 4t + 4 - 4) + 65 = 13(t - 2)^2 - 52 + 65 = 13(t - 2)^2 + 13$

したがって、$\left| \vec{a} + t\vec{b} \right|^2$ は $t = 2$ のとき最小値 $13$ をとる。

このとき、$\left| \vec{a} + t\vec{b} \right|$ の最小値は $\sqrt{13}$ である。

3. 最終的な答え

$t=2$ のとき最小値 $\sqrt{13}$ をとる。