$a = \frac{1}{3-2\sqrt{2}}$ について、以下の問題を解く。 (1) $a$ の分母を有理化して簡単にせよ。 (2) $a$ の小数部分を $b$ とするとき、$b$ の値を求めよ。また、$a^2 - b^2$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

$a = \frac{1}{3-2\sqrt{2}}$ について、以下の問題を解く。

(1) $a$ の分母を有理化して簡単にせよ。

(2) $a$ の小数部分を $b$ とするとき、$b$ の値を求めよ。また、$a^2 - b^2$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $a$ の分母を有理化する。分母の $3-2\sqrt{2}$ に共役な $3+2\sqrt{2}$ を分母分子にかける。

$$a = \frac{1}{3-2\sqrt{2}} = \frac{1}{3-2\sqrt{2}} \times \frac{3+2\sqrt{2}}{3+2\sqrt{2}} = \frac{3+2\sqrt{2}}{3^2 - (2\sqrt{2})^2} = \frac{3+2\sqrt{2}}{9 - 8} = 3+2\sqrt{2}$$

(2) $a = 3+2\sqrt{2}$ の小数部分 $b$ を求める。

$\sqrt{2} \approx 1.414$ より $2\sqrt{2} \approx 2.828$ であるから、$a = 3 + 2\sqrt{2} \approx 3 + 2.828 = 5.828$ となり、$a$ の整数部分は $5$ である。したがって、$b = a - 5 = (3+2\sqrt{2}) - 5 = 2\sqrt{2} - 2$。

次に、$a^2 - b^2$ の値を求める。

$a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$ を利用する。

$a+b = (3+2\sqrt{2}) + (2\sqrt{2}-2) = 1+4\sqrt{2}$

$a-b = (3+2\sqrt{2}) - (2\sqrt{2}-2) = 5$

$a^2 - b^2 = (1+4\sqrt{2})(5) = 5 + 20\sqrt{2}$

3. 最終的な答え

(1) $a = 3 + 2\sqrt{2}$

(2) $b = 2\sqrt{2} - 2$

$a^2 - b^2 = 5 + 20\sqrt{2}$