画像に写っている数学の問題を解く。問題は以下の通りである。 (3) $f(x) = \sqrt{x+1}$ の表を埋める。 [問題4] (1) $y = \frac{1}{2}(x+1)^2 - 1$ のグラフは、$y = \frac{1}{2}x^2$ のグラフをどのように平行移動したものか答える。 (2) $y = \frac{2}{x} + 1$ について、定義されない $x$ の値を答え、定義域がどのような集合か答える。 (3) $y = \sqrt{x+1}$ は、$x \ge$ いくつでしか定義できないかを答え、定義域がどのような区間に含まれるかを答える。また、$y = \sqrt{x+1}$ は $f(x) = \sqrt{x}$ のグラフをどのように平行移動したものか答える。 (4) 一般に、$y = f(x-a) + b$ のグラフは、$y = f(x)$ のグラフをどのように平行移動したものか答える。 [問題5] (1) $f(x) = (x+2)^2 - 1$ のグラフを描き、定義域 $D$ と値域 $f(D)$ を答える。 (2) $f(x) = \frac{1}{x+2} - 1$ のグラフを描き、定義域 $D$ と値域 $f(D)$ を答える。

1. 問題の内容

画像に写っている数学の問題を解く。問題は以下の通りである。

(3) $f(x) = \sqrt{x+1}$ の表を埋める。

[問題4]

(1) $y = \frac{1}{2}(x+1)^2 - 1$ のグラフは、$y = \frac{1}{2}x^2$ のグラフをどのように平行移動したものか答える。

(2) $y = \frac{2}{x} + 1$ について、定義されない $x$ の値を答え、定義域がどのような集合か答える。

(3) $y = \sqrt{x+1}$ は、$x \ge$ いくつでしか定義できないかを答え、定義域がどのような区間に含まれるかを答える。また、$y = \sqrt{x+1}$ は $f(x) = \sqrt{x}$ のグラフをどのように平行移動したものか答える。

(4) 一般に、$y = f(x-a) + b$ のグラフは、$y = f(x)$ のグラフをどのように平行移動したものか答える。

[問題5]

(1) $f(x) = (x+2)^2 - 1$ のグラフを描き、定義域 $D$ と値域 $f(D)$ を答える。

(2) $f(x) = \frac{1}{x+2} - 1$ のグラフを描き、定義域 $D$ と値域 $f(D)$ を答える。

2. 解き方の手順

(3) $f(x) = \sqrt{x+1}$ について、

$x = -2$ のとき $f(-2) = \sqrt{-2+1} = \sqrt{-1}$。これは実数ではない。

$x = -1$ のとき $f(-1) = \sqrt{-1+1} = \sqrt{0} = 0$。

$x = 0$ のとき $f(0) = \sqrt{0+1} = \sqrt{1} = 1$。

$x = 1$ のとき $f(1) = \sqrt{1+1} = \sqrt{2}$。

$x = 2$ のとき $f(2) = \sqrt{2+1} = \sqrt{3}$。

[問題4]

(1) $y = \frac{1}{2}(x+1)^2 - 1$ は、$y = \frac{1}{2}x^2$ を $x$ 軸方向に $-1$、 $y$ 軸方向に $-1$ だけ平行移動したものである。

(2) $y = \frac{2}{x} + 1$ は、$x = 0$ で定義されない。つまり、定義域は $x \ne 0$ なる実数全体の集合である。

(3) $y = \sqrt{x+1}$ は、$x \ge -1$ でしか定義できないので、定義域は区間 $[-1, \infty)$ に含まれる。また、$y = \sqrt{x+1}$ は $f(x) = \sqrt{x}$ のグラフを $x$ 軸方向に $-1$ だけ平行移動したものである。

(4) 一般に、$y = f(x-a) + b$ のグラフは、$y = f(x)$ のグラフを $x$ 軸方向に $a$、$y$ 軸方向に $b$ だけ平行移動して得られる。

[問題5]

(1) $f(x) = (x+2)^2 - 1$ は、頂点が $(-2, -1)$ の放物線である。定義域はすべての実数なので、$D = \mathbb{R}$。値域は $y \ge -1$ なので、$f(D) = \{y \in \mathbb{R} \mid y \ge -1\}$。

(2) $f(x) = \frac{1}{x+2} - 1$ は、$x = -2$ で定義されない。定義域は $D = \{x \in \mathbb{R} \mid x \ne -2\}$。値域は $y \ne -1$ なので、$f(D) = \{y \in \mathbb{R} \mid y \ne -1\}$。

3. 最終的な答え

(3) $f(-1) = 0$, $f(0) = 1$, $f(1) = \sqrt{2}$, $f(2) = \sqrt{3}$

[問題4]

(1) x軸方向に -1, y軸方向に -1

(2) 0, $x \ne 0$ なる実数全体の集合

(3) -1, $[-1, \infty)$, -1

(4) a, b

[問題5]

(1) グラフは省略。

定義域: $D = \mathbb{R}$

値域: $f(D) = \{y \in \mathbb{R} \mid y \ge -1\}$

(2) グラフは省略。

定義域: $D = \{x \in \mathbb{R} \mid x \ne -2\}$

値域: $f(D) = \{y \in \mathbb{R} \mid y \ne -1\}$