二項定理を用いて、$(a+3b)^5$ を展開する問題です。

1. 問題の内容

二項定理を用いて、$(a+3b)^5$ を展開する問題です。

2. 解き方の手順

二項定理とは、$(x+y)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} x^{n-k} y^k$ という式で表されます。

ここで、$\binom{n}{k}$ は二項係数であり、$\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ と計算できます。

今回の問題では、$x=a$, $y=3b$, $n=5$ なので、この式に代入していきます。

$(a+3b)^5 = \sum_{k=0}^{5} \binom{5}{k} a^{5-k} (3b)^k$

各項を計算します。

$k=0$ のとき: $\binom{5}{0} a^5 (3b)^0 = 1 \cdot a^5 \cdot 1 = a^5$

$k=1$ のとき: $\binom{5}{1} a^4 (3b)^1 = 5 \cdot a^4 \cdot 3b = 15a^4b$

$k=2$ のとき: $\binom{5}{2} a^3 (3b)^2 = 10 \cdot a^3 \cdot 9b^2 = 90a^3b^2$

$k=3$ のとき: $\binom{5}{3} a^2 (3b)^3 = 10 \cdot a^2 \cdot 27b^3 = 270a^2b^3$

$k=4$ のとき: $\binom{5}{4} a^1 (3b)^4 = 5 \cdot a \cdot 81b^4 = 405ab^4$

$k=5$ のとき: $\binom{5}{5} a^0 (3b)^5 = 1 \cdot 1 \cdot 243b^5 = 243b^5$

これらの項をすべて足し合わせます。

3. 最終的な答え

$(a+3b)^5 = a^5 + 15a^4b + 90a^3b^2 + 270a^2b^3 + 405ab^4 + 243b^5$