2次方程式 $x^2 - 6x + m = 0$ の2つの解について、以下の条件を満たすとき、定数 $m$ の値と2つの解を求めます。 (1) 1つの解が他の解の2倍である。 (3) 2つの解の差が4である。

1. 問題の内容

2次方程式 $x^2 - 6x + m = 0$ の2つの解について、以下の条件を満たすとき、定数 $m$ の値と2つの解を求めます。

(1) 1つの解が他の解の2倍である。

(3) 2つの解の差が4である。

2. 解き方の手順

(1) 1つの解が他の解の2倍であるとき

2つの解を $\alpha, 2\alpha$ とおきます。

解と係数の関係より、

$\alpha + 2\alpha = 6$

$\alpha \cdot 2\alpha = m$

これらの式を解きます。

まず、$\alpha + 2\alpha = 6$ より、

$3\alpha = 6$

$\alpha = 2$

したがって、2つの解は $2$ と $2\cdot 2 = 4$ です。

また、$m = \alpha \cdot 2\alpha = 2\alpha^2$ なので、

$m = 2(2)^2 = 2 \cdot 4 = 8$

(3) 2つの解の差が4であるとき

2つの解を $\alpha, \alpha + 4$ とおきます。

解と係数の関係より、

$\alpha + (\alpha + 4) = 6$

$\alpha(\alpha + 4) = m$

これらの式を解きます。

まず、$\alpha + (\alpha + 4) = 6$ より、

$2\alpha + 4 = 6$

$2\alpha = 2$

$\alpha = 1$

したがって、2つの解は $1$ と $1 + 4 = 5$ です。

また、$m = \alpha(\alpha + 4)$ なので、

$m = 1(1 + 4) = 1 \cdot 5 = 5$

3. 最終的な答え

(1) $m = 8$, 2つの解は $2, 4$

(3) $m = 5$, 2つの解は $1, 5$