与えられた式 $a(b+c)(a-b-c)$ を展開し、整理せよ。

1. 問題の内容

与えられた式 $a(b+c)(a-b-c)$ を展開し、整理せよ。

2. 解き方の手順

まず、$b+c$ をまとめて考えると、与式は $a(b+c)(a-(b+c))$ となります。

ここで、$b+c=x$ と置くと、式は $a x (a-x)$ となります。

これを展開すると、$a(ax-x^2) = a^2x - ax^2$ となります。

$x$ を $b+c$ に戻すと、$a^2(b+c) - a(b+c)^2$ となります。

さらに展開すると、$a^2b + a^2c - a(b^2 + 2bc + c^2) = a^2b + a^2c - ab^2 - 2abc - ac^2$ となります。

$a(b+c)(a-b-c) = a(ab - b^2 - bc + ac - bc - c^2)$

$= a(ab + ac - b^2 - 2bc - c^2)$

$= a^2b + a^2c - ab^2 - 2abc - ac^2$

3. 最終的な答え

$a^2b + a^2c - ab^2 - 2abc - ac^2$