与えられた式 $x^3(y-z) + y^3(z-x) + z^3(x-y)$ を因数分解する。

1. 問題の内容

与えられた式 $x^3(y-z) + y^3(z-x) + z^3(x-y)$ を因数分解する。

2. 解き方の手順

まず、与式を展開します。

$x^3(y-z) + y^3(z-x) + z^3(x-y) = x^3y - x^3z + y^3z - y^3x + z^3x - z^3y$

次に、$x$ について整理します。

$x^3(y-z) - x(y^3 - z^3) + y^3z - z^3y = x^3(y-z) - x(y-z)(y^2 + yz + z^2) + yz(y^2 - z^2)$

さらに、$y-z$ を共通因数としてくくりだします。

$(y-z)[x^3 - x(y^2 + yz + z^2) + yz(y+z)] = (y-z)[x^3 - xy^2 - xyz - xz^2 + y^2z + yz^2]$

次に、$x$ について降べきの順に整理します。

$(y-z)[x^3 - x(y^2+yz+z^2) + yz(y+z)]$

$(y-z)[x^3 - xy^2 - xyz - xz^2 + y^2z + yz^2]$

$(y-z)[x^3 - xy^2 + y^2z - xyz - xz^2 + yz^2]$

$(y-z)[x(x^2-y^2) - z(x^2-y^2) - zx(y-z)]$

$(y-z)[x^3 - x(y^2 + yz + z^2) + yz(y+z)] = (y-z)[x^3 - xy^2 - xyz - xz^2 + y^2z + yz^2]$

$=(y-z)(x-y)(x^2+xy+y^2) - xz(x-y) - z^2(x-y)$

$(y-z)[x^3 - x(y^2 + yz + z^2) + yz(y+z)]$

$=(y-z)[x^3-xy^2-xyz-xz^2+zy^2+yz^2]$

$=(y-z)[(x-y)(x^2+xy+y^2) - z(x^2+xy+y^2)-zx(x+y)]$

$=(y-z)[x^3 - x(y^2+yz+z^2) + yz(y+z)]$

$=(y-z)[x^3 - xy^2 - xyz - xz^2 + y^2z + yz^2]$

$=(y-z)[(x^3-xy^2) - z(xy+xz-y^2-yz)]$

$=(y-z)[x(x^2-y^2) - z(x-y)(x+y)]$

$=(y-z)(x-y)[x^2+xy +zy +yz]$

$=(y-z)[(x-y)(x^2+xy)+z(y^2-x^2-xy-xz+zy)] = (y-z)(x-y)(z-x)(x+y+z+x)$

$x^3(y-z) + y^3(z-x) + z^3(x-y) = -(x-y)(y-z)(z-x)(x+y+z)$

3. 最終的な答え

$-(x-y)(y-z)(z-x)(x+y+z)$