与えられた式 $x^4 - 9x^2 + 16$ を因数分解してください。

1. 問題の内容

与えられた式 $x^4 - 9x^2 + 16$ を因数分解してください。

2. 解き方の手順

まず、$x^4 - 9x^2 + 16$ を $x^4 + 8x^2 + 16 - 17x^2$ と変形します。これは、$x^4 + 8x^2 + 16$ が $(x^2 + 4)^2$ となることから、$x^4 - 9x^2 + 16 = (x^2 + 4)^2 - 17x^2$と書けます。

残念ながら、$17x^2$ が平方数ではないため、さらに変形します。

$x^4 - 9x^2 + 16$ を $x^4 + 8x^2 + 16 - 17x^2$ ではなく、$x^4 + 8x^2 + 16 - 17x^2$の形を利用するのではなく、$x^4 + 8x^2 + 16$ の形を利用することを考えます。

ここで、$x^4 + 8x^2 + 16 = (x^2 + 4)^2$ であることに着目し、$x^4 - 9x^2 + 16 = (x^2 + 4)^2 - 8x^2 - 9x^2 = (x^2+4)^2$ の形から調整することを考えます。

$x^4 - 9x^2 + 16 = x^4 + 8x^2 + 16 - 17x^2$ という形の式変形はうまくいきません。

別の方法として、$x^4 - 9x^2 + 16$ を $x^2$ の二次式とみなし、$x^4 - 9x^2 + 16 = (x^2 + a)(x^2 + b) = x^4 + (a + b)x^2 + ab$ となる $a$ と $b$ を探そうとしても、$(a + b) = -9$ で $ab = 16$ となる整数 $a$ と $b$ は存在しません。

平方完成を用いて、$x^4 - 9x^2 + 16 = (x^2 - \frac{9}{2})^2 - (\frac{9}{2})^2 + 16 = (x^2 - \frac{9}{2})^2 - \frac{81}{4} + \frac{64}{4} = (x^2 - \frac{9}{2})^2 - \frac{17}{4}$ となるので、これもうまくいきません。

与えられた式を $x^4 - 8x^2 + 16 - x^2$ と変形すると、$x^4 - 9x^2 + 16 = (x^2 - 4)^2 - x^2$ となります。

ここで、$A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)$ という因数分解の公式を用いると、

$(x^2 - 4)^2 - x^2 = (x^2 - 4 - x)(x^2 - 4 + x) = (x^2 - x - 4)(x^2 + x - 4)$ となります。

3. 最終的な答え

$(x^2 + x - 4)(x^2 - x - 4)$