多項式 $ax^3 - x^2y + by^2 + c$ について、以下の質問に答える問題です。 (1) $x$ に着目したとき、何次式か。また、そのときの定数項は何か。 (2) $y$ に着目したとき、何次式か。また、そのときの定数項は何か。 (3) $x$ と $y$ に着目したとき、何次式か。また、そのときの定数項は何か。

1. 問題の内容

多項式 $ax^3 - x^2y + by^2 + c$ について、以下の質問に答える問題です。

(1) $x$ に着目したとき、何次式か。また、そのときの定数項は何か。

(2) $y$ に着目したとき、何次式か。また、そのときの定数項は何か。

(3) $x$ と $y$ に着目したとき、何次式か。また、そのときの定数項は何か。

2. 解き方の手順

(1) $x$ に着目する場合：

$y$ を定数とみなします。各項の $x$ の次数を調べます。

$ax^3$ の次数は 3

$-x^2y$ の次数は 2

$by^2$ の次数は 0 (xを含まないため)

$c$ の次数は 0 (xを含まないため)

したがって、$x$ に着目すると、この多項式は 3 次式です。

定数項は $x$ を含まない項なので、$by^2 + c$ が定数項になります。

(2) $y$ に着目する場合：

$x$ を定数とみなします。各項の $y$ の次数を調べます。

$ax^3$ の次数は 0 (yを含まないため)

$-x^2y$ の次数は 1

$by^2$ の次数は 2

$c$ の次数は 0 (yを含まないため)

したがって、$y$ に着目すると、この多項式は 2 次式です。

定数項は $y$ を含まない項なので、$ax^3 + c$ が定数項になります。

(3) $x$ と $y$ に着目する場合：

各項の $x$ と $y$ の次数の合計を調べます。

$ax^3$ の次数は 3

$-x^2y$ の次数は $2+1 = 3$

$by^2$ の次数は 2

$c$ の次数は 0

したがって、$x$ と $y$ に着目すると、この多項式は 3 次式です。

定数項は $x$ も $y$ も含まない項なので、$c$ が定数項になります。

3. 最終的な答え

(1) $x$ に着目すると、3 次式。定数項は $by^2 + c$。

(2) $y$ に着目すると、2 次式。定数項は $ax^3 + c$。

(3) $x$ と $y$ に着目すると、3 次式。定数項は $c$。