与えられた式 $\frac{1}{a(a+2)} + \frac{1}{(a+2)(a+4)} + \frac{1}{(a+4)(a+6)}$ を計算して、最も簡単な形に整理してください。

1. 問題の内容

与えられた式 $\frac{1}{a(a+2)} + \frac{1}{(a+2)(a+4)} + \frac{1}{(a+4)(a+6)}$ を計算して、最も簡単な形に整理してください。

2. 解き方の手順

この問題を解くために、部分分数分解を利用します。

まず、各項を部分分数に分解します。

第1項:

$\frac{1}{a(a+2)} = \frac{A}{a} + \frac{B}{a+2}$

$1 = A(a+2) + Ba$

$a = 0$ のとき、$1 = 2A \implies A = \frac{1}{2}$

$a = -2$ のとき、$1 = -2B \implies B = -\frac{1}{2}$

よって、$\frac{1}{a(a+2)} = \frac{1}{2}(\frac{1}{a} - \frac{1}{a+2})$

同様に、

第2項:

$\frac{1}{(a+2)(a+4)} = \frac{1}{2}(\frac{1}{a+2} - \frac{1}{a+4})$

第3項:

$\frac{1}{(a+4)(a+6)} = \frac{1}{2}(\frac{1}{a+4} - \frac{1}{a+6})$

与えられた式に代入すると、

$\frac{1}{a(a+2)} + \frac{1}{(a+2)(a+4)} + \frac{1}{(a+4)(a+6)} = \frac{1}{2}(\frac{1}{a} - \frac{1}{a+2}) + \frac{1}{2}(\frac{1}{a+2} - \frac{1}{a+4}) + \frac{1}{2}(\frac{1}{a+4} - \frac{1}{a+6})$

$= \frac{1}{2}(\frac{1}{a} - \frac{1}{a+2} + \frac{1}{a+2} - \frac{1}{a+4} + \frac{1}{a+4} - \frac{1}{a+6})$

$= \frac{1}{2}(\frac{1}{a} - \frac{1}{a+6})$

$= \frac{1}{2}(\frac{a+6 - a}{a(a+6)})$

$= \frac{1}{2}(\frac{6}{a(a+6)})$

$= \frac{3}{a(a+6)}$

3. 最終的な答え

$\frac{3}{a(a+6)}$