与えられた数式を因数分解する問題です。特に、以下の問題を解きます。 27 (2) $4x^2 - 12x + 9$ 28 (2) $4x^2 - 9y^2$ 29 (2) $x^2 - 11x + 24$ 30 (2) $6x^2 + x - 1$ 31 (2) $(2x-y)^2 - 4(2x-y) + 4$ 32 (2) $(m-1)x^2 + 4(1-m)y^2$

1. 問題の内容

与えられた数式を因数分解する問題です。特に、以下の問題を解きます。

27 (2) $4x^2 - 12x + 9$

28 (2) $4x^2 - 9y^2$

29 (2) $x^2 - 11x + 24$

30 (2) $6x^2 + x - 1$

31 (2) $(2x-y)^2 - 4(2x-y) + 4$

32 (2) $(m-1)x^2 + 4(1-m)y^2$

2. 解き方の手順

* 27 (2) $4x^2 - 12x + 9$

これは $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ の形をしています。

$4x^2 = (2x)^2$, $9 = 3^2$, $-12x = -2(2x)(3)$ なので、

$4x^2 - 12x + 9 = (2x - 3)^2$

* 28 (2) $4x^2 - 9y^2$

これは $a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$ の形をしています。

$4x^2 = (2x)^2$, $9y^2 = (3y)^2$ なので、

$4x^2 - 9y^2 = (2x + 3y)(2x - 3y)$

* 29 (2) $x^2 - 11x + 24$

これは $x^2 + (a+b)x + ab = (x+a)(x+b)$ の形です。

$a+b = -11$, $ab = 24$ となる $a, b$ を探します。

$a = -3$, $b = -8$ が条件を満たすので、

$x^2 - 11x + 24 = (x - 3)(x - 8)$

* 30 (2) $6x^2 + x - 1$

これは $ax^2 + bx + c$ の形です。たすき掛けを利用して因数分解します。

$6x^2 + x - 1 = (2x + 1)(3x - 1)$

* 31 (2) $(2x-y)^2 - 4(2x-y) + 4$

$A = 2x - y$ と置くと、

$A^2 - 4A + 4 = (A - 2)^2$

$A$ を元に戻すと、

$(2x - y - 2)^2$

* 32 (2) $(m-1)x^2 + 4(1-m)y^2$

$(m-1)x^2 - 4(m-1)y^2 = (m-1)(x^2 - 4y^2)$

$(m-1)(x^2 - 4y^2) = (m-1)(x + 2y)(x - 2y)$

3. 最終的な答え

* 27 (2) $(2x - 3)^2$

* 28 (2) $(2x + 3y)(2x - 3y)$

* 29 (2) $(x - 3)(x - 8)$

* 30 (2) $(2x + 1)(3x - 1)$

* 31 (2) $(2x - y - 2)^2$

* 32 (2) $(m-1)(x + 2y)(x - 2y)$