(1) 次の式が成り立つような $a, b, c, d$ を求めなさい。 1. $\begin{pmatrix} 1 & a \\ b & -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -c & -3 \\ 1 & d \end{pmatrix}$ 2. $\begin{pmatrix} a+b \\ b+c \\ c+a \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}$ 3. $\begin{pmatrix} a+a+b \\ c+c-d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a & 2 & 6 \\ c & -1 & 4 \end{pmatrix}$ (2) 次の計算をしなさい。 1. $2 \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} - 3 \begin{pmatrix} 4 & 3 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ 2. $2\begin{pmatrix} 1 & 2 \end{pmatrix} - (-2\ 3) + \frac{1}{2}\begin{pmatrix} 2 & 2 \end{pmatrix}$ 3. $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 1 \\ 2 & 3 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & -1 & 1 \\ 1 & 0 & -1 \\ -1 & 1 & 0 \end{pmatrix} + 3 \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$ (3) $A = \begin{pmatrix} -3 & 1 \\ 2 & -2 \\ -1 & 3 \end{pmatrix}, B = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 3 \\ 3 & 1 \end{pmatrix}$ のとき、次を満たす行列 $P, Q, R$ を求めなさい。 1. $4A - P = 2P + B$ 2. $2(A - Q) = 3(Q - 2B)$ 3. $\frac{1}{3}(R - 2A + B) = \frac{1}{2}R - \frac{2}{3}A + B$

はい、承知いたしました。画像の問題を解いていきます。

1. 問題の内容

(1) 次の式が成り立つような $a, b, c, d$ を求めなさい。

1. $\begin{pmatrix} 1 & a \\ b & -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -c & -3 \\ 1 & d \end{pmatrix}$

2. $\begin{pmatrix} a+b \\ b+c \\ c+a \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}$

3. $\begin{pmatrix} a+a+b \\ c+c-d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a & 2 & 6 \\ c & -1 & 4 \end{pmatrix}$

(2) 次の計算をしなさい。

1. $2 \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} - 3 \begin{pmatrix} 4 & 3 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$

2. $2\begin{pmatrix} 1 & 2 \end{pmatrix} - (-2\ 3) + \frac{1}{2}\begin{pmatrix} 2 & 2 \end{pmatrix}$

3. $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 1 \\ 2 & 3 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & -1 & 1 \\ 1 & 0 & -1 \\ -1 & 1 & 0 \end{pmatrix} + 3 \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

(3) $A = \begin{pmatrix} -3 & 1 \\ 2 & -2 \\ -1 & 3 \end{pmatrix}, B = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 3 \\ 3 & 1 \end{pmatrix}$ のとき、次を満たす行列 $P, Q, R$ を求めなさい。

1. $4A - P = 2P + B$

2. $2(A - Q) = 3(Q - 2B)$

3. $\frac{1}{3}(R - 2A + B) = \frac{1}{2}R - \frac{2}{3}A + B$

2. 解き方の手順

(1)

1. 行列が等しい条件より、$1 = -c, a = -3, b = 1, -2 = d$。したがって、$a = -3, b = 1, c = -1, d = -2$。

2. 連立方程式を解く。$a+b = 1, b+c = 2, c+a = 3$。辺々足すと $2(a+b+c) = 6$ より $a+b+c = 3$。これより $c = 2, a = 1, b = 0$。

3. 行列が等しい条件より、$a+a+b = a, 2 = 6, 6 = a$, $c+c-d = c, -1 = 4, 4 = -1, c = c-1, 2c-d=-1, 4 = c - d$。これは矛盾しているため、解なし。問題文の書き間違いがあると考えられます。

(2)

1. $2 \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} - 3 \begin{pmatrix} 4 & 3 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 6 & 8 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 12 & 9 \\ 6 & 3 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 - 12 + 1 & 4 - 9 + 0 \\ 6 - 6 + 0 & 8 - 3 + 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -9 & -5 \\ 0 & 6 \end{pmatrix}$

2. $2\begin{pmatrix} 1 & 2 \end{pmatrix} - (-2\ 3) + \frac{1}{2}\begin{pmatrix} 2 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 4 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} -2 & 3 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 + 2 + 1 & 4 - 3 + 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 & 2 \end{pmatrix}$

3. $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 1 \\ 2 & 3 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & -1 & 1 \\ 1 & 0 & -1 \\ -1 & 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 + 2 - 3 & -1 + 0 + 3 & 1 - 2 + 0 \\ 0 + 3 - 1 & -2 + 0 + 1 & 2 - 3 + 0 \\ 0 + 3 - 1 & -2 + 0 + 1 & 2 - 3 + 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 2 & -1 \\ 2 & -1 & -1 \\ 2 & -1 & -1 \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix} -1 & 2 & -1 \\ 2 & -1 & -1 \\ 2 & -1 & -1 \end{pmatrix} + 3 \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 + 3 & 2 + 0 & -1 + 0 \\ 2 + 0 & -1 + 3 & -1 + 0 \\ 2 + 0 & -1 + 0 & -1 + 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 2 & -1 \\ 2 & 2 & -1 \\ 2 & -1 & 2 \end{pmatrix}$

(3)

1. $4A - P = 2P + B$ より $3P = 4A - B$。したがって、$P = \frac{1}{3}(4A - B) = \frac{1}{3} \left( 4 \begin{pmatrix} -3 & 1 \\ 2 & -2 \\ -1 & 3 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 3 \\ 3 & 1 \end{pmatrix} \right) = \frac{1}{3} \left( \begin{pmatrix} -12 & 4 \\ 8 & -8 \\ -4 & 12 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 3 \\ 3 & 1 \end{pmatrix} \right) = \frac{1}{3} \begin{pmatrix} -13 & 2 \\ 6 & -11 \\ -7 & 11 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -13/3 & 2/3 \\ 6/3 & -11/3 \\ -7/3 & 11/3 \end{pmatrix}$

2. $2(A - Q) = 3(Q - 2B)$ より $2A - 2Q = 3Q - 6B$。したがって、$5Q = 2A + 6B$ より $Q = \frac{1}{5}(2A + 6B) = \frac{1}{5} \left( 2 \begin{pmatrix} -3 & 1 \\ 2 & -2 \\ -1 & 3 \end{pmatrix} + 6 \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 3 \\ 3 & 1 \end{pmatrix} \right) = \frac{1}{5} \left( \begin{pmatrix} -6 & 2 \\ 4 & -4 \\ -2 & 6 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 6 & 12 \\ 12 & 18 \\ 18 & 6 \end{pmatrix} \right) = \frac{1}{5} \begin{pmatrix} 0 & 14 \\ 16 & 14 \\ 16 & 12 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 14/5 \\ 16/5 & 14/5 \\ 16/5 & 12/5 \end{pmatrix}$

3. $\frac{1}{3}(R - 2A + B) = \frac{1}{2}R - \frac{2}{3}A + B$ より $\frac{1}{3}R - \frac{2}{3}A + \frac{1}{3}B = \frac{1}{2}R - \frac{2}{3}A + B$。したがって、$\frac{1}{6}R = \frac{2}{3}B - \frac{1}{3}B = \frac{1}{3}B$ より $R = 2B = 2 \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 3 \\ 3 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 4 & 6 \\ 6 & 2 \end{pmatrix}$。

3. 最終的な答え

(1)

1. $a = -3, b = 1, c = -1, d = -2$

2. $a = 1, b = 0, c = 2$

3. 解なし

(2)

1. $\begin{pmatrix} -9 & -5 \\ 0 & 6 \end{pmatrix}$

2. $\begin{pmatrix} 5 & 2 \end{pmatrix}$

3. $\begin{pmatrix} 2 & 2 & -1 \\ 2 & 2 & -1 \\ 2 & -1 & 2 \end{pmatrix}$

(3)

1. $P = \begin{pmatrix} -13/3 & 2/3 \\ 2 & -11/3 \\ -7/3 & 11/3 \end{pmatrix}$

2. $Q = \begin{pmatrix} 0 & 14/5 \\ 16/5 & 14/5 \\ 16/5 & 12/5 \end{pmatrix}$

3. $R = \begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 4 & 6 \\ 6 & 2 \end{pmatrix}$