与えられた数式の値を計算します。 数式は以下です。 $\frac{1}{1-\sqrt{2}} - \frac{1}{\sqrt{2}-\sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{3}-2}$

1. 問題の内容

与えられた数式の値を計算します。

数式は以下です。

$\frac{1}{1-\sqrt{2}} - \frac{1}{\sqrt{2}-\sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{3}-2}$

2. 解き方の手順

まず、各項の分母を有理化します。

第1項：

$\frac{1}{1-\sqrt{2}} = \frac{1}{1-\sqrt{2}} \times \frac{1+\sqrt{2}}{1+\sqrt{2}} = \frac{1+\sqrt{2}}{1-2} = \frac{1+\sqrt{2}}{-1} = -1-\sqrt{2}$

第2項：

$\frac{1}{\sqrt{2}-\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{2}-\sqrt{3}} \times \frac{\sqrt{2}+\sqrt{3}}{\sqrt{2}+\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{2}+\sqrt{3}}{2-3} = \frac{\sqrt{2}+\sqrt{3}}{-1} = -\sqrt{2}-\sqrt{3}$

第3項：

$\frac{1}{\sqrt{3}-2} = \frac{1}{\sqrt{3}-2} \times \frac{\sqrt{3}+2}{\sqrt{3}+2} = \frac{\sqrt{3}+2}{3-4} = \frac{\sqrt{3}+2}{-1} = -\sqrt{3}-2$

次に、これらの結果を元の式に代入します。

$(-1-\sqrt{2}) - (-\sqrt{2}-\sqrt{3}) + (-\sqrt{3}-2)$

$= -1-\sqrt{2} + \sqrt{2} + \sqrt{3} - \sqrt{3} - 2$

$= -1 - 2 = -3$

3. 最終的な答え

-3