与えられた漸化式 $a_{n+1} = 3a_n - 1$ と初期値 $a_1 = -5$ から、数列の一般項 $a_n$ を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた漸化式 $a_{n+1} = 3a_n - 1$ と初期値 $a_1 = -5$ から、数列の一般項 $a_n$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、漸化式を特性方程式を用いて変形します。

特性方程式を $x = 3x - 1$ とおきます。

この方程式を解くと、

$2x = 1$

$x = \frac{1}{2}$

となります。

したがって、漸化式は以下のように変形できます。

$a_{n+1} - \frac{1}{2} = 3(a_n - \frac{1}{2})$

ここで、$b_n = a_n - \frac{1}{2}$ とおくと、数列 $\{b_n\}$ は初項 $b_1 = a_1 - \frac{1}{2} = -5 - \frac{1}{2} = -\frac{11}{2}$、公比 $3$ の等比数列となります。

したがって、$b_n = b_1 \cdot 3^{n-1}$ より、

$b_n = -\frac{11}{2} \cdot 3^{n-1}$

$a_n = b_n + \frac{1}{2}$ なので、

$a_n = -\frac{11}{2} \cdot 3^{n-1} + \frac{1}{2}$

$a_n = \frac{1}{2} (-11 \cdot 3^{n-1} + 1)$

3. 最終的な答え

数列 $\{a_n\}$ の一般項は、

$a_n = \frac{1}{2} (-11 \cdot 3^{n-1} + 1)$