問題14：2次方程式 $x^2 - 2x + 3 = 0$ の2つの解を $\alpha$、$\beta$ とするとき、次の式の値を求める。 (1) $\alpha^2 + \beta^2$ (2) $(\alpha - \beta)^2$ (3) $\alpha^2\beta + \alpha\beta^2$ (4) $\alpha^3 + \beta^3$ (5) $(\alpha + 1)(\beta + 1)$ (6) $\frac{\beta}{\alpha} + \frac{\alpha}{\beta}$ 問題15：次の2次方程式の2つの解の間に[ ]内の関係があるとき、定数 $m$ の値と2つの解をそれぞれ求める。 (1) $x^2 + mx + 27 = 0$ [1つの解が他の解の3倍] (2) $x^2 - 14x + 2m = 0$ [1つの解の3倍が他の解の4倍] (3) $x^2 - (m+1)x + 2 = 0$ [2つの解の差が1] (4) $x^2 - 6x + m = 0$ [1つの解が他の解の2乗]

1. 問題の内容

問題14：2次方程式 $x^2 - 2x + 3 = 0$ の2つの解を $\alpha$、$\beta$ とするとき、次の式の値を求める。

(1) $\alpha^2 + \beta^2$

(2) $(\alpha - \beta)^2$

(3) $\alpha^2\beta + \alpha\beta^2$

(4) $\alpha^3 + \beta^3$

(5) $(\alpha + 1)(\beta + 1)$

(6) $\frac{\beta}{\alpha} + \frac{\alpha}{\beta}$

問題15：次の2次方程式の2つの解の間に[ ]内の関係があるとき、定数 $m$ の値と2つの解をそれぞれ求める。

(1) $x^2 + mx + 27 = 0$ [1つの解が他の解の3倍]

(2) $x^2 - 14x + 2m = 0$ [1つの解の3倍が他の解の4倍]

(3) $x^2 - (m+1)x + 2 = 0$ [2つの解の差が1]

(4) $x^2 - 6x + m = 0$ [1つの解が他の解の2乗]

2. 解き方の手順

問題14：

まず、解と係数の関係から、$\alpha + \beta = 2$、$\alpha\beta = 3$ である。

(1) $\alpha^2 + \beta^2 = (\alpha + \beta)^2 - 2\alpha\beta = 2^2 - 2(3) = 4 - 6 = -2$

(2) $(\alpha - \beta)^2 = (\alpha + \beta)^2 - 4\alpha\beta = 2^2 - 4(3) = 4 - 12 = -8$

(3) $\alpha^2\beta + \alpha\beta^2 = \alpha\beta(\alpha + \beta) = 3(2) = 6$

(4) $\alpha^3 + \beta^3 = (\alpha + \beta)(\alpha^2 - \alpha\beta + \beta^2) = (\alpha + \beta)[(\alpha + \beta)^2 - 3\alpha\beta] = 2(2^2 - 3(3)) = 2(4 - 9) = 2(-5) = -10$

(5) $(\alpha + 1)(\beta + 1) = \alpha\beta + (\alpha + \beta) + 1 = 3 + 2 + 1 = 6$

(6) $\frac{\beta}{\alpha} + \frac{\alpha}{\beta} = \frac{\alpha^2 + \beta^2}{\alpha\beta} = \frac{-2}{3} = -\frac{2}{3}$

問題15：

(1) 解を $\alpha$、 $3\alpha$ とすると、解と係数の関係から、

$\alpha + 3\alpha = -m$

$\alpha(3\alpha) = 27$

$4\alpha = -m$

$3\alpha^2 = 27$

$\alpha^2 = 9$

$\alpha = \pm 3$

$\alpha = 3$ のとき、$m = -12$。解は $3$ と $9$。

$\alpha = -3$ のとき、$m = 12$。解は $-3$ と $-9$。

(2) 解を $\alpha$、 $\frac{3}{4}\alpha$ とすると、解と係数の関係から、

$\alpha + \frac{3}{4}\alpha = 14$

$\alpha(\frac{3}{4}\alpha) = 2m$

$\frac{7}{4}\alpha = 14$

$\frac{3}{4}\alpha^2 = 2m$

$\alpha = 8$

$\frac{3}{4}(8^2) = 2m$

$\frac{3}{4}(64) = 2m$

$48 = 2m$

$m = 24$

解は $8$ と $6$。

(3) 解を $\alpha$、 $\alpha + 1$ とすると、解と係数の関係から、

$\alpha + (\alpha + 1) = m + 1$

$\alpha(\alpha + 1) = 2$

$2\alpha + 1 = m + 1$

$\alpha^2 + \alpha = 2$

$\alpha^2 + \alpha - 2 = 0$

$(\alpha + 2)(\alpha - 1) = 0$

$\alpha = -2$ または $\alpha = 1$

$\alpha = -2$ のとき、 $2(-2) + 1 = m + 1$ より、 $m = -4$。解は $-2$ と $-1$。

$\alpha = 1$ のとき、 $2(1) + 1 = m + 1$ より、$m = 2$。解は $1$ と $2$。

(4) 解を $\alpha$、 $\alpha^2$ とすると、解と係数の関係から、

$\alpha + \alpha^2 = 6$

$\alpha(\alpha^2) = m$

$\alpha^2 + \alpha - 6 = 0$

$(\alpha + 3)(\alpha - 2) = 0$

$\alpha = -3$ または $\alpha = 2$

$\alpha = -3$ のとき、$m = (-3)^3 = -27$。解は $-3$ と $9$。

$\alpha = 2$ のとき、$m = 2^3 = 8$。解は $2$ と $4$。

3. 最終的な答え

問題14：

(1) -2

(2) -8

(3) 6

(4) -10

(5) 6

(6) -2/3

問題15：

(1) $m = -12$ のとき、解は $3$ と $9$。$m = 12$ のとき、解は $-3$ と $-9$。

(2) $m = 24$ のとき、解は $8$ と $6$。

(3) $m = -4$ のとき、解は $-2$ と $-1$。$m = 2$ のとき、解は $1$ と $2$。

(4) $m = -27$ のとき、解は $-3$ と $9$。$m = 8$ のとき、解は $2$ と $4$。