与えられた3つの式を因数分解する問題です。 (1) $16x^4y + 2xy^4$ (2) $x^6 - y^6$ (3) $(a-b)^3 + (b-c)^3 + (c-a)^3$

1. 問題の内容

与えられた3つの式を因数分解する問題です。

(1) $16x^4y + 2xy^4$

(2) $x^6 - y^6$

(3) $(a-b)^3 + (b-c)^3 + (c-a)^3$

2. 解き方の手順

(1)

まず、共通因数でくくり出します。

$16x^4y + 2xy^4 = 2xy(8x^3 + y^3)$

次に、$8x^3+y^3$を因数分解します。$8x^3+y^3 = (2x)^3+y^3$ なので、和の3乗の公式 $A^3+B^3 = (A+B)(A^2-AB+B^2)$ を用いて、$A=2x, B=y$ を代入すると、

$8x^3+y^3 = (2x+y)((2x)^2-(2x)y+y^2) = (2x+y)(4x^2-2xy+y^2)$

したがって、$16x^4y + 2xy^4 = 2xy(2x+y)(4x^2-2xy+y^2)$

(2)

$x^6 - y^6$ は、$x^6 = (x^2)^3 = (x^3)^2$ と $y^6 = (y^2)^3 = (y^3)^2$ のように見ることができるので、差の2乗と差の3乗の因数分解の公式を用いることができます。

まず、差の2乗の公式 $A^2 - B^2 = (A+B)(A-B)$ を用いると、$A = x^3, B = y^3$ として、

$x^6 - y^6 = (x^3+y^3)(x^3-y^3)$

次に、和の3乗の公式 $A^3+B^3 = (A+B)(A^2-AB+B^2)$ と差の3乗の公式 $A^3-B^3 = (A-B)(A^2+AB+B^2)$ を用いると、

$x^3+y^3 = (x+y)(x^2-xy+y^2)$

$x^3-y^3 = (x-y)(x^2+xy+y^2)$

したがって、$x^6 - y^6 = (x+y)(x^2-xy+y^2)(x-y)(x^2+xy+y^2) = (x+y)(x-y)(x^2-xy+y^2)(x^2+xy+y^2)$

さらに、$x^6 - y^6 = (x^2)^3 - (y^2)^3 = (x^2 - y^2)((x^2)^2 + x^2y^2 + (y^2)^2) = (x-y)(x+y)(x^4+x^2y^2+y^4)$

また、$x^4+x^2y^2+y^4 = (x^2+y^2)^2 - (xy)^2 = (x^2+xy+y^2)(x^2-xy+y^2)$なので、$x^6 - y^6 = (x-y)(x+y)(x^2+xy+y^2)(x^2-xy+y^2)$ となります。

(3)

$X = a-b, Y = b-c, Z = c-a$ とすると、$X+Y+Z = (a-b) + (b-c) + (c-a) = 0$ となります。

$X+Y+Z = 0$ のとき、$X^3 + Y^3 + Z^3 = 3XYZ$ という公式があります。

したがって、$(a-b)^3 + (b-c)^3 + (c-a)^3 = 3(a-b)(b-c)(c-a)$

3. 最終的な答え

(1) $2xy(2x+y)(4x^2-2xy+y^2)$

(2) $(x+y)(x-y)(x^2-xy+y^2)(x^2+xy+y^2)$

(3) $3(a-b)(b-c)(c-a)$