次の3つの式を因数分解します。 (1) $16x^4y + 2xy^4$ (2) $x^6 - y^6$ (3) $(a-b)^3 + (b-c)^3 + (c-a)^3$

1. 問題の内容

次の3つの式を因数分解します。

(1) $16x^4y + 2xy^4$

(2) $x^6 - y^6$

(3) $(a-b)^3 + (b-c)^3 + (c-a)^3$

2. 解き方の手順

(1) $16x^4y + 2xy^4$ の因数分解

まず、共通因数をくくり出します。

$16x^4y + 2xy^4 = 2xy(8x^3 + y^3)$

次に、$8x^3 + y^3$ を因数分解します。

これは、$A^3 + B^3 = (A+B)(A^2 - AB + B^2)$ の公式を利用できます。

$8x^3 = (2x)^3$ なので、$A = 2x$、$B = y$ となります。

$8x^3 + y^3 = (2x+y)((2x)^2 - (2x)y + y^2) = (2x+y)(4x^2 - 2xy + y^2)$

したがって、

$16x^4y + 2xy^4 = 2xy(2x+y)(4x^2 - 2xy + y^2)$

(2) $x^6 - y^6$ の因数分解

これは、差の平方の公式 $A^2 - B^2 = (A+B)(A-B)$ を2回適用します。

まず、$x^6 = (x^3)^2$、$y^6 = (y^3)^2$ と考えると、

$x^6 - y^6 = (x^3)^2 - (y^3)^2 = (x^3 + y^3)(x^3 - y^3)$

次に、$x^3 + y^3$ と $x^3 - y^3$ をそれぞれ因数分解します。

$A^3 + B^3 = (A+B)(A^2 - AB + B^2)$ と $A^3 - B^3 = (A-B)(A^2 + AB + B^2)$ の公式を利用します。

$x^3 + y^3 = (x+y)(x^2 - xy + y^2)$

$x^3 - y^3 = (x-y)(x^2 + xy + y^2)$

したがって、

$x^6 - y^6 = (x+y)(x^2 - xy + y^2)(x-y)(x^2 + xy + y^2)$

順番を変えて

$x^6 - y^6 = (x+y)(x-y)(x^2 - xy + y^2)(x^2 + xy + y^2)$

(3) $(a-b)^3 + (b-c)^3 + (c-a)^3$ の因数分解

$X = a-b$、$Y = b-c$、$Z = c-a$ とおくと、$X+Y+Z = (a-b) + (b-c) + (c-a) = 0$ となります。

もし、$X+Y+Z = 0$ ならば、$X^3 + Y^3 + Z^3 = 3XYZ$ という公式が成り立ちます。

したがって、

$(a-b)^3 + (b-c)^3 + (c-a)^3 = 3(a-b)(b-c)(c-a)$

3. 最終的な答え

(1) $2xy(2x+y)(4x^2 - 2xy + y^2)$

(2) $(x+y)(x-y)(x^2 - xy + y^2)(x^2 + xy + y^2)$

(3) $3(a-b)(b-c)(c-a)$