次の4つの式を因数分解する問題です。 (1) $x^3 + 1$ (2) $a^3 - 8$ (3) $64a^3 - 27$ (4) $125x^3 + 8a^3$

1. 問題の内容

次の4つの式を因数分解する問題です。

(1) $x^3 + 1$

(2) $a^3 - 8$

(3) $64a^3 - 27$

(4) $125x^3 + 8a^3$

2. 解き方の手順

これらの問題は、$a^3 + b^3$ または $a^3 - b^3$ の因数分解の公式を使います。

$a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$

$a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$

(1) $x^3 + 1$

これは $x^3 + 1^3$ と考えられるので、$a=x$, $b=1$ を上記の公式に当てはめます。

$x^3 + 1^3 = (x + 1)(x^2 - x \cdot 1 + 1^2) = (x + 1)(x^2 - x + 1)$

(2) $a^3 - 8$

これは $a^3 - 2^3$ と考えられるので、$a=a$, $b=2$ を上記の公式に当てはめます。

$a^3 - 2^3 = (a - 2)(a^2 + a \cdot 2 + 2^2) = (a - 2)(a^2 + 2a + 4)$

(3) $64a^3 - 27$

これは $(4a)^3 - 3^3$ と考えられるので、$a=4a$, $b=3$ を上記の公式に当てはめます。

$(4a)^3 - 3^3 = (4a - 3)((4a)^2 + 4a \cdot 3 + 3^2) = (4a - 3)(16a^2 + 12a + 9)$

(4) $125x^3 + 8a^3$

これは $(5x)^3 + (2a)^3$ と考えられるので、$a=5x$, $b=2a$ を上記の公式に当てはめます。

$(5x)^3 + (2a)^3 = (5x + 2a)((5x)^2 - 5x \cdot 2a + (2a)^2) = (5x + 2a)(25x^2 - 10ax + 4a^2)$

3. 最終的な答え

(1) $(x + 1)(x^2 - x + 1)$

(2) $(a - 2)(a^2 + 2a + 4)$

(3) $(4a - 3)(16a^2 + 12a + 9)$

(4) $(5x + 2a)(25x^2 - 10ax + 4a^2)$