2つの不等式 $|x - a| \le 2a + 3$ ...(1) $|x - 2a| > 4a - 4$ ...(2) について、以下の問いに答える。 (1) 不等式(1)を満たす実数 $x$ が存在するような定数 $a$ の値の範囲を求める。 (2) 不等式(1)と(2)を同時に満たす実数 $x$ が存在するような定数 $a$ の値の範囲を求める。

1. 問題の内容

2つの不等式

$|x - a| \le 2a + 3$ ...(1)

$|x - 2a| > 4a - 4$ ...(2)

について、以下の問いに答える。

(1) 不等式(1)を満たす実数 $x$ が存在するような定数 $a$ の値の範囲を求める。

(2) 不等式(1)と(2)を同時に満たす実数 $x$ が存在するような定数 $a$ の値の範囲を求める。

2. 解き方の手順

(1)

不等式(1) $|x - a| \le 2a + 3$ が実数解を持つためには、

$2a + 3 \ge 0$

である必要がある。

$2a \ge -3$

$a \ge -\frac{3}{2}$

したがって、不等式(1)を満たす実数 $x$ が存在するような $a$ の値の範囲は、 $a \ge -\frac{3}{2}$ である。

(2)

不等式(1)は、$a - (2a + 3) \le x \le a + (2a + 3)$ より

$-a - 3 \le x \le 3a + 3$ ...(1)'

不等式(2)は、$x - 2a > 4a - 4$ または $x - 2a < -(4a - 4)$ より

$x > 6a - 4$ または $x < -2a + 4$ ...(2)'

(1)'と(2)'を同時に満たす $x$ が存在するためには、

(a) $-a - 3 < -2a + 4$ かつ $6a - 4 < 3a + 3$

または

(b) $-a - 3 < 6a - 4$ かつ $-2a + 4 < 3a + 3$

のいずれかが成り立つ必要がある。

(a)の場合、

$-a - 3 < -2a + 4$ より $a < 7$

$6a - 4 < 3a + 3$ より $3a < 7$ よって $a < \frac{7}{3}$

よって、$a < \frac{7}{3}$

さらに、(1)より$a \ge -\frac{3}{2}$であるから、$-\frac{3}{2} \le a < \frac{7}{3}$

(b)の場合、

$-a - 3 < 6a - 4$ より $1 < 7a$ よって $a > \frac{1}{7}$

$-2a + 4 < 3a + 3$ より $1 < 5a$ よって $a > \frac{1}{5}$

よって、$a > \frac{1}{5}$

$a \ge -\frac{3}{2}$より、 $a > \frac{1}{5}$

さらに、$6a-4 < -2a+4$を考えると、$8a < 8$より、$a < 1$

$\frac{1}{5} < a < 1$のとき、$-a-3 \le x \le 3a+3$と$x>6a-4$または$x<-2a+4$

が共通部分をもてばよい。

$3a+3 > 6a-4$または$-a-3 < -2a+4$であればよい。

$7 > 3a$なので、$a < \frac{7}{3}$

$a < 7$なので、常に成り立つ。

よって、$\frac{1}{5} < a < 1$のとき、条件を満たす。

まとめると、$-\frac{3}{2} \le a < \frac{7}{3}$

3. 最終的な答え

(1) $a \ge -\frac{3}{2}$

(2) $-\frac{3}{2} \le a < \frac{7}{3}$