関数 $y = -3x^2 - 2x + c$ ($-1 \leq x \leq 0$) の最小値が $1$ となるように、定数 $c$ の値を定める問題です。

1. 問題の内容

関数 $y = -3x^2 - 2x + c$ ($-1 \leq x \leq 0$) の最小値が $1$ となるように、定数 $c$ の値を定める問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた2次関数を平方完成します。

$y = -3x^2 - 2x + c = -3(x^2 + \frac{2}{3}x) + c = -3(x^2 + \frac{2}{3}x + (\frac{1}{3})^2 - (\frac{1}{3})^2) + c$

$y = -3(x + \frac{1}{3})^2 + \frac{1}{3} + c$

この放物線は上に凸であり、軸は $x = -\frac{1}{3}$ です。定義域は $-1 \leq x \leq 0$ です。

軸 $x = -\frac{1}{3}$ は定義域内にあるので、頂点で最大値をとり、最小値は区間の端点 $x = -1$ または $x = 0$ でとります。

$x = -1$ のとき、$y = -3(-1)^2 - 2(-1) + c = -3 + 2 + c = -1 + c$

$x = 0$ のとき、$y = -3(0)^2 - 2(0) + c = c$

$-1+c$ と $c$ を比較すると、$-1+c < c$ なので、最小値は $x = -1$ のときの $y$ の値 $-1+c$ です。

問題文より、最小値が $1$ なので、

$-1 + c = 1$

$c = 2$

3. 最終的な答え

$c = 2$