ベクトル $a_1, a_2, a_3 \in \mathbb{R}^3$ について、以下の3つの命題を示す問題です。 1. $a_1, a_2, a_3$ が生成系ならば、$a_1 + a_2, a_2 + a_3, a_3 + a_1$ は生成系である。

1. 問題の内容

ベクトル $a_1, a_2, a_3 \in \mathbb{R}^3$ について、以下の3つの命題を示す問題です。

1. $a_1, a_2, a_3$ が生成系ならば、$a_1 + a_2, a_2 + a_3, a_3 + a_1$ は生成系である。

2. $a_1, a_2, a_3$ が一次独立ならば、$a_1 + a_2, a_2 + a_3, a_3 + a_1$ は一次独立である。

3. $a_1, a_2, a_3$ が基底ならば、$a_1 + a_2, a_2 + a_3, a_3 + a_1$ は基底である。

2. 解き方の手順

(1) $a_1, a_2, a_3$ が生成系であるとき、$a_1 + a_2, a_2 + a_3, a_3 + a_1$ が生成系であることを示す。

$a_1, a_2, a_3$ が生成系であるので、任意の $v \in \mathbb{R}^3$ に対して、

$v = c_1a_1 + c_2a_2 + c_3a_3$と表せる。

ここで、$a_1 = (a_1+a_2)-(a_2+a_3)+(a_3+a_1) -a_1$なので、$a_1=(1/2)(a_1+a_2-a_2-a_3+a_3+a_1)$とかける。同様に、$a_2=(1/2)(a_1+a_2+a_2+a_3-a_3-a_1)$, $a_3=(1/2)(-a_1-a_2+a_2+a_3+a_3+a_1)$とかけるので、$v$は$a_1 + a_2, a_2 + a_3, a_3 + a_1$の線形結合で表せる。よって、$a_1 + a_2, a_2 + a_3, a_3 + a_1$ は生成系である。

(2) $a_1, a_2, a_3$ が一次独立であるとき、$a_1 + a_2, a_2 + a_3, a_3 + a_1$ が一次独立であることを示す。

$c_1(a_1 + a_2) + c_2(a_2 + a_3) + c_3(a_3 + a_1) = 0$ と仮定する。

$(c_1 + c_3)a_1 + (c_1 + c_2)a_2 + (c_2 + c_3)a_3 = 0$

$a_1, a_2, a_3$ は一次独立なので、

$c_1 + c_3 = 0$

$c_1 + c_2 = 0$

$c_2 + c_3 = 0$

この連立方程式を解くと、$c_1 = c_2 = c_3 = 0$ となる。

よって、$a_1 + a_2, a_2 + a_3, a_3 + a_1$ は一次独立である。

(3) $a_1, a_2, a_3$ が基底であるとき、$a_1 + a_2, a_2 + a_3, a_3 + a_1$ が基底であることを示す。

$a_1, a_2, a_3$ が基底なので、生成系であり、かつ一次独立である。

(1)より、$a_1 + a_2, a_2 + a_3, a_3 + a_1$ は生成系である。

(2)より、$a_1 + a_2, a_2 + a_3, a_3 + a_1$ は一次独立である。

したがって、$a_1 + a_2, a_2 + a_3, a_3 + a_1$ は基底である。

3. 最終的な答え

1. $a_1, a_2, a_3$ が生成系ならば、$a_1 + a_2, a_2 + a_3, a_3 + a_1$ は生成系である。

2. $a_1, a_2, a_3$ が一次独立ならば、$a_1 + a_2, a_2 + a_3, a_3 + a_1$ は一次独立である。

3. $a_1, a_2, a_3$ が基底ならば、$a_1 + a_2, a_2 + a_3, a_3 + a_1$ は基底である。