与えられた複素数の分数 $\frac{2-i}{2+i}$ を、より簡単な形に計算せよ。

1. 問題の内容

与えられた複素数の分数 $\frac{2-i}{2+i}$ を、より簡単な形に計算せよ。

2. 解き方の手順

複素数の分母を有理化するために、分母の共役複素数（ここでは $2-i$）を分母と分子の両方に掛けます。

$\frac{2-i}{2+i} = \frac{(2-i)(2-i)}{(2+i)(2-i)}$

分子を計算します。

$(2-i)(2-i) = 2(2) + 2(-i) -i(2) -i(-i) = 4 - 2i - 2i + i^2 = 4 - 4i - 1 = 3 - 4i$

分母を計算します。

$(2+i)(2-i) = 2(2) + 2(-i) + i(2) + i(-i) = 4 - 2i + 2i - i^2 = 4 - (-1) = 4 + 1 = 5$

したがって、

$\frac{2-i}{2+i} = \frac{3-4i}{5} = \frac{3}{5} - \frac{4}{5}i$

3. 最終的な答え

$\frac{3}{5} - \frac{4}{5}i$