(1) 複素数 $z$ について、$|z|=1$ を満たす点の全体が表す図形と、$|z-1|=|z+1|$ を満たす点の全体が表す図形の交点の値を求める。 (2) 複素数平面上に点O(0), A($\alpha$), B(2) がある。$\alpha$ は $\alpha^2 - 3\alpha + 3 = 0$ を満たし、$\alpha$ の虚部は正である。このとき、$\angle BOA$ を求め、$\triangle BOA$ の外接円の中心をC($\gamma$)としたときの $\gamma$ を求める。 (3) 無限級数 $\frac{1}{1\cdot3} + \frac{1}{3\cdot5} + \dots + \frac{1}{(2n-1)(2n+1)} + \dots$ の和を求める。

1. 問題の内容

(1) 複素数 $z$ について、$|z|=1$ を満たす点の全体が表す図形と、$|z-1|=|z+1|$ を満たす点の全体が表す図形の交点の値を求める。

(2) 複素数平面上に点O(0), A($\alpha$), B(2) がある。$\alpha$ は $\alpha^2 - 3\alpha + 3 = 0$ を満たし、$\alpha$ の虚部は正である。このとき、$\angle BOA$ を求め、$\triangle BOA$ の外接円の中心をC($\gamma$)としたときの $\gamma$ を求める。

(3) 無限級数 $\frac{1}{1\cdot3} + \frac{1}{3\cdot5} + \dots + \frac{1}{(2n-1)(2n+1)} + \dots$ の和を求める。

2. 解き方の手順

(1) $|z|=1$ は原点を中心とする半径1の円を表す。 $|z-1|=|z+1|$ は、点1と点-1からの距離が等しい点の集合なので、これらは1と-1を結ぶ線分の垂直二等分線、すなわち実軸上で1と-1の中点の垂直二等分線だから虚軸を表す。円 $|z|=1$ と虚軸の交点は $z = \pm i$。

(2) $\alpha^2 - 3\alpha + 3 = 0$ を解くと、$\alpha = \frac{3 \pm \sqrt{9-12}}{2} = \frac{3 \pm i\sqrt{3}}{2}$。$\alpha$ の虚部は正なので $\alpha = \frac{3+i\sqrt{3}}{2}$。

$\alpha = \frac{3}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}$ より、$|\alpha| = \sqrt{(\frac{3}{2})^2 + (\frac{\sqrt{3}}{2})^2} = \sqrt{\frac{9}{4} + \frac{3}{4}} = \sqrt{\frac{12}{4}} = \sqrt{3}$

また、$\arg{\alpha} = \arctan{\frac{\sqrt{3}/2}{3/2}} = \arctan{\frac{1}{\sqrt{3}}} = \frac{\pi}{6}$。よって、$\alpha = \sqrt{3}e^{i\frac{\pi}{6}}$。

点Bは $z=2$ であり、$|2|=2$。よって、$\angle BOA = \arg{(2)} - \arg{(\alpha)} = 0 - \frac{\pi}{6} = -\frac{\pi}{6}$。絶対値を取ると、$\angle BOA=\frac{\pi}{6}$。問題文の選択肢より、$\angle BOA = \frac{\pi}{6}$。

$\triangle BOA$ の外接円の中心C($\gamma$)は、OAとOBの垂直二等分線の交点である。OAの中点は $\frac{\alpha}{2}$で、OBの中点は1。OAの傾きは $\frac{\sqrt{3}/2}{3/2} = \frac{1}{\sqrt{3}}$ なので、OAの垂直二等分線の傾きは $-\sqrt{3}$。OBは実軸にあるので、OBの垂直二等分線は虚軸である。

$\gamma = x+iy$とおくと、虚軸上にあるので $x=0$。OAの垂直二等分線は$\frac{\alpha}{2} = \frac{3+i\sqrt{3}}{4}$を通るので、$y - \frac{\sqrt{3}}{4} = -\sqrt{3}(x-\frac{3}{4})$。$x=0$を代入して、$y - \frac{\sqrt{3}}{4} = \frac{3\sqrt{3}}{4}$。よって$y=\sqrt{3}$。従って、$\gamma = i\sqrt{3}$

(3) $\frac{1}{(2n-1)(2n+1)} = \frac{1}{2}(\frac{1}{2n-1} - \frac{1}{2n+1})$ を利用する。

$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(2n-1)(2n+1)} = \frac{1}{2}\sum_{n=1}^{\infty} (\frac{1}{2n-1} - \frac{1}{2n+1}) = \frac{1}{2}[(1-\frac{1}{3})+(\frac{1}{3}-\frac{1}{5})+(\frac{1}{5}-\frac{1}{7})+\dots] = \frac{1}{2}(1) = \frac{1}{2}$

3. 最終的な答え

(1) $\pm i$

(2) $\angle BOA = \frac{\pi}{6}$, $\gamma = i\sqrt{3}$

(3) $\frac{1}{2}$