与えられた式 $(x+y+z)(x-y+z)(x+y-z)(x-y-z)$ を展開し、簡略化せよ。

1. 問題の内容

与えられた式 $(x+y+z)(x-y+z)(x+y-z)(x-y-z)$ を展開し、簡略化せよ。

2. 解き方の手順

まず、最初の2つの項と最後の2つの項をそれぞれグループ化し、計算します。

$(x+y+z)(x-y+z)$と$(x+y-z)(x-y-z)$ を計算します。

最初の積：

$(x+y+z)(x-y+z) = ((x+z)+y)((x+z)-y)$

これは $A^2 - B^2 = (A+B)(A-B)$ の形なので、

$(x+z)^2 - y^2 = x^2 + 2xz + z^2 - y^2$

次の積：

$(x+y-z)(x-y-z) = ((x-z)+y)((x-z)-y)$

これも $A^2 - B^2 = (A+B)(A-B)$ の形なので、

$(x-z)^2 - y^2 = x^2 - 2xz + z^2 - y^2$

次に、得られた2つの式を掛け合わせます。

$(x^2 + 2xz + z^2 - y^2)(x^2 - 2xz + z^2 - y^2) = ((x^2+z^2-y^2)+2xz)((x^2+z^2-y^2)-2xz)$

これも $A^2 - B^2 = (A+B)(A-B)$ の形なので、

$(x^2+z^2-y^2)^2 - (2xz)^2 = (x^2+z^2-y^2)^2 - 4x^2z^2$

$(x^2+z^2-y^2)^2 = (x^2+z^2-y^2)(x^2+z^2-y^2) = x^4 + x^2z^2 - x^2y^2 + x^2z^2 + z^4 - z^2y^2 - x^2y^2 - z^2y^2 + y^4 = x^4 + z^4 + y^4 + 2x^2z^2 - 2x^2y^2 - 2z^2y^2$

したがって、

$x^4 + z^4 + y^4 + 2x^2z^2 - 2x^2y^2 - 2z^2y^2 - 4x^2z^2 = x^4 + y^4 + z^4 - 2x^2y^2 - 2x^2z^2 - 2y^2z^2$

3. 最終的な答え

$x^4 + y^4 + z^4 - 2x^2y^2 - 2x^2z^2 - 2y^2z^2$