関数 $y = f(x) = -2x^2 + (2a+5)x - a$ の区間 $-4 \le x \le 1$ における最大値と最小値を、$a$ の値によって場合分けして求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $y = f(x) = -2x^2 + (2a+5)x - a$ の区間 $-4 \le x \le 1$ における最大値と最小値を、$a$ の値によって場合分けして求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた2次関数を平方完成します。

$y = -2(x^2 - \frac{2a+5}{2}x) - a$

$y = -2\left(x - \frac{2a+5}{4}\right)^2 + 2\left(\frac{2a+5}{4}\right)^2 - a$

$y = -2\left(x - \frac{2a+5}{4}\right)^2 + \frac{(2a+5)^2}{8} - a$

$y = -2\left(x - \frac{2a+5}{4}\right)^2 + \frac{4a^2 + 20a + 25}{8} - \frac{8a}{8}$

$y = -2\left(x - \frac{2a+5}{4}\right)^2 + \frac{4a^2 + 12a + 25}{8}$

頂点の $x$ 座標は $x = \frac{2a+5}{4}$ です。

定義域 $-4 \le x \le 1$ における最大値と最小値を求めるために、頂点の $x$ 座標 $\frac{2a+5}{4}$ が定義域のどこにあるかで場合分けを行います。

(1) $\frac{2a+5}{4} < -4$ のとき。つまり $2a+5 < -16$ より $2a < -21$ なので $a < -\frac{21}{2}$ のとき

区間 $-4 \le x \le 1$ において単調減少なので、

最大値は $f(-4) = -2(-4)^2 + (2a+5)(-4) - a = -32 - 8a - 20 - a = -9a - 52$

最小値は $f(1) = -2(1)^2 + (2a+5)(1) - a = -2 + 2a + 5 - a = a + 3$

(2) $-4 \le \frac{2a+5}{4} \le 1$ のとき。つまり $-16 \le 2a+5 \le 4$ より $-21 \le 2a \le -1$ なので $-\frac{21}{2} \le a \le -\frac{1}{2}$ のとき

頂点で最大値を取るので、

最大値は $\frac{4a^2 + 12a + 25}{8}$

最小値は $f(-4)$ と $f(1)$ のうち小さい方。

$f(-4) = -9a - 52$ 、 $f(1) = a+3$

$f(-4) - f(1) = -9a - 52 - (a+3) = -10a - 55$

ここで $-10a - 55 = 0$ とすると $a = -\frac{11}{2} = -5.5$

$-\frac{21}{2} \le a \le -\frac{1}{2}$ なので、$a < -\frac{11}{2}$ のとき $f(-4) < f(1)$、$a > -\frac{11}{2}$ のとき $f(1) < f(-4)$

$-\frac{21}{2} \le a < -\frac{11}{2}$ のとき、最小値は $f(-4) = -9a - 52$

$-\frac{11}{2} \le a \le -\frac{1}{2}$ のとき、最小値は $f(1) = a+3$

(3) $\frac{2a+5}{4} > 1$ のとき。つまり $2a+5 > 4$ より $2a > -1$ なので $a > -\frac{1}{2}$ のとき

区間 $-4 \le x \le 1$ において単調増加なので、

最大値は $f(1) = a + 3$

最小値は $f(-4) = -9a - 52$

以上の結果をまとめると、

* $a < -\frac{21}{2}$ のとき、最大値 $-9a - 52$、最小値 $a + 3$

* $-\frac{21}{2} \le a < -\frac{11}{2}$ のとき、最大値 $\frac{4a^2+12a+25}{8}$、最小値 $-9a-52$

* $-\frac{11}{2} \le a \le -\frac{1}{2}$ のとき、最大値 $\frac{4a^2+12a+25}{8}$、最小値 $a+3$

* $a > -\frac{1}{2}$ のとき、最大値 $a + 3$、最小値 $-9a - 52$

3. 最終的な答え

| $a$ の範囲 | 最大値 | 最小値 |

| ----------------- | ---------------------------- | ----------- |

| $a < -\frac{21}{2}$ | $-9a - 52$ | $a + 3$ |

| $-\frac{21}{2} \le a < -\frac{11}{2}$| $\frac{4a^2+12a+25}{8}$| $-9a-52$ |

| $-\frac{11}{2} \le a \le -\frac{1}{2}$| $\frac{4a^2+12a+25}{8}$| $a+3$ |

| $a > -\frac{1}{2}$ | $a + 3$ | $-9a - 52$ |